Misure in fisica

 

Esercizi

1. Quesito: Nove misure diverse della larghezza della cattedra forniscono i seguenti risultati: 1.21 m, 1.23 m, 1.20 m, 1.20 m, 1.19 m, 1.24 m, 1.22 m, 1.21 m, 1.21 m. Si determinino la migliore stima per l'esito della misura, l'errore assoluto, l'errore relativo e si riporti il risultato della misura con il corretto numero di cifre significative.

   Risposta: La migliore stima è data dal valor medio della larghezza della cattedra. Facendo la somma delle nove misure otteniamo 10.91 m. Il valor medio si ottiene dividendo tale risultato per il numero delle misure effettuate, ossia 9. Con una calcolatrice otteniamo il seguente risultato x = 1.21222 m. Per capire quante cifre sono significative dobbiamo andare a calcolare l'errore assoluto. In questo caso l'errore assoluto coincide con la semidispersione:
   Δx = (xmax - xmin) / 2 = (1.24 -1.19) m = 0.025 m.
   Ora la regola generale afferma che l'errore va sempre arrotondato in modo da tenere un'unica cifra significativa. Seguendo le usuali regole per l'arrotondamento, approssimeremo l'errore per eccesso Δx = 0.03 m. A questo punto anche il valor medio va arrotondato in modo da tenere solo due cifre dopo la virgola. Il risultato della misura diventa pertanto x = (1.21 ± 0.03) m.
   Infine per quanto riguarda l'errore relativo dobbiamo dividere l'errore assoluto, 0.03 m, per il risultato della misura, 1.21 m, ottenendo come risultato un errore relativo pari a 0.025. Siccome l'errore relativo è il rapporto tra due lunghezze, l'errore relativo non ha unità di misura.

2. Quesito: Supponiamo di aver effettuato le misure di due lunghezze e di aver ottenuto come risultato a = (21.3 ± 0.4) m e b = (19.61 ± 0.06) m. Usando le regole di propagazione degli errori si calcolino a + b, a - b, a · b, a : b, con il corretto numero di cifre significative.

   Risposta: L'errore nella somma a + b è la somma degli errori Δa + Δb = 0.46 m. Dal momento che l'errore va sempre arrotondato a un'unica cifra significativa arrotonderemo 0.46 per eccesso e l'errore nella somma sarà Δa + Δb = 0.5 m. Perciò la misura a + b = 40.91 m va arrotondata a 40.9 m, in modo tale da tenere un'unica cifra dopo la virgola. Analogo discorso vale per la differenza a - b = 1.69 m che andrà arrotondata per eccesso a 1.7 m. Il risultato finale è:
   a + b = (40.9 ± 0.5) m,
   a - b = (1.7 ± 0.5) m.
   Nei prodotti e nei rapporti invece si sommano gli errori relativi: Δa / a + Δb / b = 0.0218. Questo è l'errore relativo nel prodotto a · b = 417.693 e nel rapporto a : b = 1.08618. Per ottenere l'errore assoluto in queste misure dobbiamo moltiplicare l'errore relativo per il risultato della misura indiretta. Nel caso del prodotto l'errore assoluto, arrotondato a una cifra significativa, è 417.693 · 0.0218 = 9 m². Nel caso del rapporto l'errore assoluto è invece 1.08618 · 0.0218 = 0.02. Dovremo pertanto tenere tre cifre significative nella misura indiretta sia del prodotto che del rapporto:
   a · b = (418 ± 9) m²,
   a : b = 1.09 ± 0.02.