Conservazione dell'energia

 

Energia cinetica e potenziale gravitazionale I

Il principio di conservazione dell'energia meccanica in assenza di attrito consente di risolvere in maniera molto semplice parecchi esercizi di fisica. In questa sezione e nella prossima ne proponiamo alcuni che coinvolgono trasformazioni di energia cinetica in energia potenziale gravitazionale e viceversa.

1. Quesito: Con quale velocità arriva al suolo un corpo di massa 3 kg lasciato cadere da fermo e in assenza di attrito da un'altezza di 20 m?

   Risposta: Per rispondere a questo esercizio abbiamo due strategie, entrambe basate sull'uso del principio di conservazione dell'energia meccanica. Come prima strategia andiamo a calcolare l'energia meccanica del corpo nell'istante iniziale. Siccome il corpo parte da fermo la sua energia meccanica iniziale coincide con la sua energia potenziale gravitazionale. Pertanto l'energia meccanica del corpo è
   E_m = m · g · h = 3 kg · 9.8 N / kg · 20 m = 588 J.
   Viceversa, quando il corpo arriva al suolo la sua energia potenziale gravitazionale si annulla e la sua energia meccanica coincide con la sua energia cinetica. Siccome l'energia meccanica si conserva possiamo scrivere che K = 588 J. Ricordando la definizione dell'energia cinetica, possiamo anche scrivere 1/2 m v² = 588 J da cui otteniamo che v² = 2 · 588 J / (3 kg) = 392 m² / s². Estraendo la radice quadrata otteniamo infine che v = 19.8 m / s.
   Un metodo più rapido e istruttivo per risolvere l'esercizio è il seguente. Siccome sappiamo che l'energia meccanica si conserva possiamo uguagliare subito l'energia cinetica finale all'energia potenziale gravitazionale iniziale: 1/2 m v² = m g h. Dividendo per la massa m e moltiplicando per 2 entrambi i membri della precedente uguaglianza otteniamo che v² = 2 · g · h. Da questa relazione scopriamo che la velocità finale non dipende dalla massa del corpo, ma solo dall'altezza da cui il corpo parte. Questo è l'unico dato che ci serve per sapere a quale velocità il corpo si schianta al suolo. Sostituendo i dati numerici ed estraendo la radice quadrata riotteniamo come velocità finale v = 19.8 m / s. Quanto abbiamo trovato non deve costituire una sorpresa. Avevamo già visto infatti che tutti i corpi in caduta libera sono soggetti alla stessa accelerazione g = 9.8 m / s², indipendentemente dalla loro massa.

2. Quesito: Quale altezza raggiunge un corpo lanciato verso l'alto con velocità 10 m / s?

   Risposta: È un po' il problema opposto a quello precedente. In questo caso l'energia meccanica iniziale coincide con l'energia cinetica K = 1/2 m v². L'altezza massima raggiunta dal corpo si ha quando il corpo si ferma, vale a dire quando la sua energia cinetica iniziale viene interamente convertita in energia potenziale gravitazionale finale U = m g h. Dalla conservazione dell'energia meccanica abbiamo: m g h = 1/2 m v² da cui, dividendo per m e per g, otteniamo l'altezza raggiunta dal corpo: h = v² / (2g). Nel nostro caso h = 10² / 19.6 m = 5.1 m.