Misure in fisica

Propagazione degli errori

Spesso in fisica le misure non vengono effettuate per confronto diretto con un campione di riferimento (misure dirette) ma utilizzando una formula matematica. Ad esempio, se volessimo misurare il semiperimetro o l'area del banco dovremmo per prima cosa misurare la base b e l'altezza a del banco per poi ricavarci il semiperimetro p o l'area A usando le formule p = a + b e A = a · b. Queste misure, ottenute tramite una formula o un'equazione matematica, prendono il nome di misure indirette.

È chiaro che sia la misura della base b che quella dell'altezza a sono soggette ad errori che indicheremo con Δb e Δa rispettivamente. La domanda alla quale vogliamo rispondere in questa sezione è: quale errore commettiamo nella misura indiretta del semiperimetro o dell'area?

In generale valgono le seguenti regole:

1. L'errore che commettiamo nella misura della somma a + b o nella misura della differenza a - b è la somma dei due errori assoluti Δa + Δb.

2. L'errore che commettiamo nel prodotto k · a, dove k è una costante priva di errore sperimentale, è dato da k · Δa.

3. Nei prodotti e nelle divisioni, a · b e a : b, la regola è più complicata e afferma che vanno sommati gli errori relativi. L'errore relativo in una misura a è dato da Δa / a, ossia dal rapporto tra l'errore assoluto Δa commesso nella misura e il valore della misura stessa a. L'errore relativo nei prodotti e nelle divisioni è pertanto dato dalla somma degli errori relativi Δa / a + Δb / b.

Le regole trovate sopra possono essere motivate come segue:

1. Consideriamo il caso della somma di due misure (a ± Δa) e (b ± Δb). La migliore stima per la misura è a + b. Il valore massimo è a + b + Δa + Δb. L'errore nella somma è dato dalla differenza tra il valore massimo e la migliore stima. Tale differenza coincide con Δa + Δb, la somma dei due errori. Un analogo discorso vale per la differenza tra a e b. La migliore stima è a - b. Il valore massimo nella differenza si ha quando a è massimo e b è minimo: a + Δa - (b - Δb) = a - b + Δa + Δb. Anche in questo caso l'errore, ossia la differenza tra il valore massimo e la migliore stima, coincide con la somma degli errori Δa + Δb.

2. k · (a ± Δa) = k · a ± k · Δa.

3. Il valore massimo che può assumere il prodotto delle due misure è invece dato dall'espressione (a + Δa) · (b + Δb) = a · b + a · Δb + (Δa) · b + Δa · Δb. Siccome gli errori sono numeri (sperabilmente!) piccoli rispetto alle misure, possiamo trascurare il termine Δa · Δb. L'errore assoluto, ossia la differenza tra il valore massimo e la migliore stima del prodotto a · b, diventa allora a · Δ b + (Δa) · b. Se dividiamo tale risultato per a · b, arriviamo a concludere che l'errore relativo del prodotto a · b è uguale alla somma degli errori relativi Δa / a + Δb / b.

In generale possiamo dire che gli errori nelle misure si propagano quando usiamo i risultati delle misure dirette (come la lunghezza e la larghezza del banco) per calcolarci misure indirette come possono essere l'area o il semiperimetro del banco stesso. Ci piace sottolineare anche l'importanza dell'errore relativo in una misura. Esso ci dà un'indicazione quantitativa sulla bontà di una misura. È chiaro infatti che lo stesso errore assoluto, ad esempio 1 mm, commesso nella misura del diametro di un anello o nella distanza Terra-Sole corrisponde a gradi di precisione notevolmente diversi: l'errore relativo nella prima misura è infatti molto più grande, ossia la misura del diametro dell'anello è di gran lunga meno precisa di quella della distanza Terra-Sole.