Applicazioni della dinamica

 

Esercizi

1. Quesito: Qual è la massima velocità che può tenere un'auto in una curva di raggio pari a r = 40 m se il coefficiente d'attrito è pari a μ = 0.6.

   Risposta: Abbiamo visto nella sezione precedente che la velocità massima che un'auto può tenere in curva è legata al coefficiente d'attrito k e al raggio della curva r dalla seguente relazione v² = μ · g · r. Sostituendo i nostri valori numerici abbiamo che v² = 0.6 · 9.8 · 40 m² / s² = 235.2 m² / s². Estraendo la radice quadrata otteniamo finalmente v = 15.3 m / s.

2. Quesito: Un satellite percorre un'orbita circolare mantenendosi a una distanza costante di 9000 km dal centro della Terra. La massa della Terra è 5.98 · 10²⁴ kg. Si calcoli la velocità tangenziale del satellite e la frequenza del suo moto di rotazione.

   Risposta: Abbiamo visto nella precedente sezione che la velocità di un satellite in orbita attorno alla Terra si può ricavare dalla seguente formula: v² = G · M / r. Nel nostro caso la distanza r è pari a r = 9000 km = 9 · 10⁶ m. Avremo perciò che:
   v² = 6.67 · 10^-11 · 5.98 · 10²⁴ / (9 · 10⁶) m² / s² = 4.4 · 10⁷ m² / s². Estraendo la radice quadrata otteniamo infine v = 6.6 · 10³ m / s. La velocità v è legata alla frequenza f dalla seguente relazione v = 2 π r f da cui otteniamo finalmente il valore della frequenza: f = v / (2 π r ) = 6.6 · 10³ / (5.65 · 10⁷) Hz = 1.12 · 10^-4 Hz.

3. Quesito: Si calcoli l'attrazione gravitazionale tra due persone di massa 70 kg i cui baricentri sono posti a una distanza di 50 cm.

   Risposta: Basta applicare in maniera corretta la formula della forza di gravitazione universale F = G m₁ m₂ / r², dove G = 6.67 · 10^-11 N · m² / kg². In questi casi è fondamentale, prima di applicare la formula, convertire preliminarmente la distanza nelle unità del S.I., ossia r = 50 cm = 0.5 m. Avremo pertanto una forza di gravitazione: F = 6.67 · 10^-11 · 70 · 70 / 0.5² N = 1.3 · 10^-6 N. Dunque l'attrazione gravitazionale tra due persone a mezzo metro di distanza è pari a un milionesimo di newton, forza praticamente trascurabile. Il fatto che la costante di proporzionalità G sia molto piccola comporta che almeno una delle due masse debba essere molto grande per poter generare delle forze significative.

4. Quesito: Due pianeti A e B hanno i raggi e le masse che stanno tra loro nelle seguenti relazioni R_A = 2 R_B e M_A = 2 M_B. Si calcoli il rapporto tra le accelerazioni di gravità sui due pianeti.

   Risposta: Ricordiamoci che l'accelerazione di gravità su un pianeta è legata al raggio R e alla massa M dalla seguente relazione: g = G M / R². A noi interessa calcolare il rapporto tra le due accelerazioni di gravità, quindi il fattore G si semplifica nel calcolo del rapporto:
   g_A / g_B = (G M_A / R_A²) : (G M_B / R_B²) = (M_A / M_B) · (R_B / R_A)² = 2 · 0.5² = 0.5.
   Possiamo perciò concludere che l'accelerazione di gravità sul pianeta B è il doppio rispetto all'accelerazione di gravità sul pianeta A.

5. Quesito: Una sfera di alluminio di raggio 5 cm cade in un cilindro riempito d'acqua e acquista una velocità di regime di 4 cm / s. Quanto vale il coefficiente di attrito viscoso k?

   Risposta: La densità assoluta dell'alluminio è δ = 2699 kg / m³. Il volume V della sfera si ricava dal raggio r mediante la formula V = 4 / 3 π r³. Con i dati del nostro esercizio il raggio r = 5 cm = 0.05 m e il volume della sfera è V = 4 / 3 π 0.05³ = 5.2 · 10^-4 m³. Per ricavare la forza-peso P del corpo dobbiamo preliminarmente calcolare la massa della sfera m = δ · V = 2699 · 5.2 · 10^-4 kg = 1.4 kg. La forza-peso della sfera è pertanto pari a P = 1.4 · 9.8 N = 13.7 N. La spinta di Archimede S è uguale al peso del liquido spostato. Siccome la densità dell'acqua è 1000 kg / m³ avremo che la sfera è sottoposta a una spinta di Archimede pari a S = 5.2 · 10^-4 · 1000 · 9.8 = 5.1 N. Quando il corpo ha raggiunto la velocità di regime abbiamo che la forza d'attrito viscoso è F_v = P - S = 13.7 N - 5.1 N = 8.6 N. In modulo tale forza è pari a F_v = k · v dove v = 4 cm / s = 0.04 m / s è la velocità di regime. Pertanto avremo un coefficiente d'attrito viscoso k = F_v / v = 8.6 N / (0.04 m / s) = 215 N · s / m.