Le Statistiche del Lotto

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.4- Le statistiche markoviane di "presenza" HT e VT

 Supponiamo di applicare ad un ritardo scelto a piacere, ad. es. R=10, la statistica generale di "presenza" introdotta nella precedente nota 2 per la colonna dell’ultimo ritardo:

LT = 5.q(R-1)

dove q=17/18. Il calcolo è molto semplice e dà LT(10) = 2,99. Ciò significa che ci dobbiamo attendere che siano ancora rimasti in piedi 3 dei 5 lottroni iniziali (col termine lottrone si intende indicare uno dei 90 numeri di una ruota).

Chiaramente tale dato teorico va inteso come dato statistico medio: in realtà se noi andiamo a esaminare molte colonne dei ritardi, in pratica al ritardo 10 troviamo di tutto un po’. Più esattamente troveremo uno (ma uno solo) dei seguenti casi :

ancora tutti i 5 lottroni iniziali; l’insieme di tali lottroni è detto convenzionalmente quintupla ed è indicato con QN;

4 dei 5 lottroni iniziali ovvero una quadrupla (QD);

3 dei 5 lottroni iniziali ovvero una tripla (TP);

2 dei 5 lottroni iniziali ovvero una doppia (DP);

uno solo dei 5 lottroni iniziali ovvero un singolo ritardatario (SR);

nessuno dei 5 lottroni iniziali ovvero uno zero (ZR).

Tuttavia, se si avrà la pazienza di effettuare la media su molti casi concreti ci si avvicinerà sensibilmente al dato teorico. A questo punto la domanda che sorge spontanea è la seguente: è possibile calcolare la probabilità che al ritardo R=10 si osservi una qualsiasi delle sei possibilità ? ovvero, in altre parole, è possibile calcolare per i sei casi possibili le rispettive probabilità, tali che la loro somma faccia l’unità:

2) P5 + P4 +P3 + P2 +P1+P0 = 1

(dove ovviamente PL, con L=0;1;…6, indica la probabilità di trovare al ritardo considerato L lottroni dei 5 iniziali)? La risposta è positiva e la soluzione viene fornita dalla teoria delle catene di Markov (dove la parola catena va intesa come passaggio da un anello di una catena all’anello successivo e non come.. incatenamento).

La metodologia di Markov è troppo complessa per essere descritta qui in dettaglio. Comunque noi avemmo già occasione di presentarla alcuni anni or sono (cfr. "I segreti del tabellone centrale " in Lotto Gazzetta Mese - Ottobre ‘94-) e qui ci limitiamo a ricordarne le caratteristiche essenziali. Di fatto questa metodologia è applicabile ogni qual volta un "sistema" che si evolve in modo discontinuo, sia descrivibile da un numero ben definito di stati e il passaggio fra uno stato e il successivo sia guidato esclusivamente da leggi probabilistiche, senza che via sia alcuna memoria delle situazioni precedenti escluso l’ultima.

In effetti questa è proprio la situazione del sistema "sincronone" costituito dai 5 Lottroni iniziali e successivamente dagli L lottroni residui (per cui L è il livello istantaneo del sincronone); dopo ogni estrazione il sistema si trova in una delle 6 posizioni possibili e ciò che può accadere alla (R+1)-esima estrazione dipende solo dallo stato del sistema dopo la R-esima estrazione.

Sul piano matematico l’insieme delle probabilità PL è detto vettore di probabilità e il segreto della metodologia di Markov consiste nella conoscenza della matrice di transizione (che noi abbiamo calcolato). Questa matrice, applicata secondo le regole della matematica, al vettore di probabilità che descrive il sistema al ritardo R consente di calcolare il vettore di probabilità (cioè la distribuzione delle probabilità del sistema) dopo l’estrazione (o ritardo) R+1.

In altre parole la metodologia di Markov agisce per passi successivi. Poiché noi conosciamo già lo stato iniziale (per R=1) del sistema (si tratta di una QN, che si rappresenta con P5=1 e P0=P1=P2=P3=P4=0), applicando la procedura suddetta è possibile calcolare tutte le probabilità PL in funzione di ogni R successivo.

Per comodità del lettore nella tabella sottostante sono riportati gli andamenti delle PL in funzione del ritardo fino a R=70. Si noti che si sommano le varie PL per R costante si ottiene sempre l’unità (perché uno dei 6 casi deve sempre avverarsi).

E’ interessante per il lettore vedere gli andamenti in funzione di R. Prendiamo ad es. il caso di una DP: la probabilità parte da zero, cresce lentamente raggiunge un massimo per R= 17 e poi decresce; tale andamento è valido per tutti gli altri casi (anche se la posizione dei massimi cambia) con due eccezioni. La prima si ha per le QN la cui probabilità non può che diminuire e l’altra è per gli ZR la cui probabilità non può che aumentare.

Il lettore non esperto di cose matematiche può sorprendersi dell’esistenza di massimi per le QD, le TP, le DP e gli SR: in realtà basta riflettere che all’inizio non si hanno, ad esempio DP; ma queste dapprima dovranno crescere per la dissoluzione delle TP (e anche di QD e di QN); contemporaneamente tuttavia comincerà anche la dissoluzione delle DP e la probabilità di osservarle andrà poi progressivamente a zero.

Dai dati ottenuti con la metodologia di Markov è possibile dedurre due interessanti statistiche di presenza, facilmente confrontabili con i dati reali. La prima di esse è HT che, prefissato il valore di L, si ottiene sommando su tutti gli R i valori delle probabilità riportati nella rispettiva colonna: ciò che si ottiene è il numero dei sincrononi di livello L presenti nella colonna dei ritardi. Più in particolare si ottiene:

Quintuple	QN	L=5	3,94
Quadruple	QD	L=4	4,38
Triple	TP	L=3	5,87
Doppie	DP	L=2	8,80
Singoli	SR	L=1	17,60

per un totale di 40,59 sincrononi (ci dobbiamo cioè attendere che nella colonna dei ritardi siano presenti in media 3,94 QN; 4,38 QD ecc.). La corrispondente statistica reale HR si ottiene semplicemente contando quanti sincrononi di livello L sono presenti nella colonna dei ritardi. Così se in un colonna sono presenti 13 DP si ha HR=13 e applicando la formula, ormai ben nota delle aspettabilità (vedere gli articoli precedenti) si ottiene:

3) AH = HR/(HR+HT) = 13/(13+8,8) = 0,60

che rappresenta il valore dell’Apz ( aspettabilità parziale) AH da attribuire a tutti i lottroni che formano le doppie.

L’altra statistica VT si ottiene confrontando fra loro le colonne delle 10 ruote per R costante.
In effetti, prefissato il valore di R, i corrispondenti valori delle PL moltiplicati per 10 ci dicono quanti lottroni di livello L debbono essere presenti. Ad es. fissando R=5 si ottiene: VT= 3,10 per le QP; VT= 4,20 per le QD; VT= 2,13 per le TP ecc.
La corrispondente statistica reale VR si ottiene semplicemente contando per quel valore di R quanti sincrononi di livello L sono presenti sulle 10 ruote. La formula per l’aspettabilità AV è simile alla precedente e i valori vanno attribuiti a tutti i lottroni dei sincrononi di livello L presenti al ritardo R.

Anche queste 2 Apz sono tra quelle più semplici utilizzate nel calcolo delle previsioni fatte col metodo GDS33 che appare su questo sito.

 

Il fisico

 

TABELLA: Andamento dei valori delle probabilità PL per ciascuno dei sei valori di L in funzione del ritardo R (L=5 corrisponde alle QN; L=5 alle QD; L=3 alle TP; L=2 alle DP; L=1 agli SR e L=0 agli zeri).

R L=6     L=4     L=3     L=2     L=1     L=0
-----------------------------------------------------
1 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

2 0.74635 0.23035 0.02247 0.00081 0.00001 0.00000

3 0.55704 0.35446 0.08019 0.00796 0.00034 0.00000

4 0.41574 0.40920 0.14844 0.02469 0.00187 0.00005

5 0.31029 0.42003 0.21323 0.05062 0.00560 0.00023

6 0.23159 0.40432 0.26743 0.08364 0.01235 0.00068

7 0.17284 0.37373 0.30818 0.12102 0.02261 0.00160

8 0.12900 0.33597 0.33522 0.16007 0.03655 0.00319

9 0.09628 0.29595 0.34967 0.19841 0.05404 0.00565

10 0.07186 0.25669 0.35334 0.23420 0.07473 0.00917

11 0.05363 0.21996 0.34829 0.26610 0.09807 0.01394

12 0.04003 0.18666 0.33654 0.29323 0.12345 0.02008

13 0.02987 0.15713 0.31992 0.31516 0.15021 0.02770

14 0.02230 0.13140 0.30001 0.33176 0.17768 0.03686

15 0.01664 0.10926 0.27813 0.34316 0.20522 0.04759

16 0.01242 0.09041 0.25532 0.34969 0.23229 0.05987

17 0.00927 0.07450 0.23241 0.35177 0.25837 0.07367

18 0.00692 0.06117 0.21001 0.34993 0.28305 0.08892

19 0.00516 0.05007 0.18854 0.34469 0.30600 0.10554

20 0.00385 0.04087 0.16830 0.33660 0.32696 0.12341

21 0.00288 0.03327 0.14949 0.32619 0.34574 0.14243

22 0.00215 0.02703 0.13217 0.31394 0.36224 0.16247

23 0.00160 0.02191 0.11639 0.30030 0.37640 0.18339

24 0.00120 0.01773 0.10213 0.28568 0.38820 0.20506

25 0.00089 0.01433 0.08932 0.27042 0.39770 0.22735

26 0.00067 0.01156 0.07788 0.25482 0.40495 0.25012

27 0.00050 0.00931 0.06773 0.23913 0.41006 0.27326

28 0.00037 0.00749 0.05875 0.22358 0.41315 0.29665

29 0.00028 0.00602 0.05085 0.20833 0.41435 0.32016

30 0.00021 0.00484 0.04392 0.19351 0.41381 0.34371

31 0.00015 0.00388 0.03787 0.17924 0.41167 0.36718

32 0.00012 0.00311 0.03259 0.16558 0.40810 0.39050

33 0.00009 0.00249 0.02800 0.15259 0.40323 0.41359

34 0.00006 0.00199 0.02403 0.14030 0.39723 0.43638

35 0.00005 0.00159 0.02059 0.12874 0.39022 0.45880

36 0.00004 0.00127 0.01762 0.11791 0.38235 0.48080

37 0.00003 0.00102 0.01506 0.10780 0.37375 0.50234

38 0.00002 0.00081 0.01286 0.09839 0.36454 0.52337

39 0.00001 0.00065 0.01097 0.08967 0.35482 0.54387

40 0.00001 0.00052 0.00935 0.08161 0.34470 0.56381

41 0.00001 0.00041 0.00796 0.07417 0.33428 0.58316

42 0.00001 0.00033 0.00677 0.06733 0.32364 0.60192

43 0.00000 0.00026 0.00576 0.06105 0.31285 0.62007

44 0.00000 0.00021 0.00489 0.05530 0.30199 0.63760

45 0.00000 0.00017 0.00415 0.05004 0.29112 0.65452

46 0.00000 0.00013 0.00352 0.04524 0.28028 0.67081

47 0.00000 0.00011 0.00299 0.04086 0.26954 0.68650

48 0.00000 0.00008 0.00253 0.03688 0.25892 0.70158

49 0.00000 0.00007 0.00215 0.03326 0.24847 0.71605

50 0.00000 0.00005 0.00182 0.02997 0.23821 0.72994

51 0.00000 0.00004 0.00154 0.02699 0.22817 0.74325

52 0.00000 0.00003 0.00130 0.02430 0.21837 0.75599

53 0.00000 0.00003 0.00110 0.02186 0.20883 0.76818

54 0.00000 0.00002 0.00093 0.01965 0.19955 0.77984

55 0.00000 0.00002 0.00079 0.01766 0.19056 0.79098

56 0.00000 0.00001 0.00066 0.01586 0.18185 0.80161

57 0.00000 0.00001 0.00056 0.01424 0.17343 0.81175

58 0.00000 0.00001 0.00047 0.01278 0.16531 0.82142

59 0.00000 0.00001 0.00040 0.01146 0.15749 0.83064

60 0.00000 0.00001 0.00034 0.01028 0.14996 0.83941

61 0.00000 0.00000 0.00028 0.00921 0.14272 0.84777

62 0.00000 0.00000 0.00024 0.00825 0.13577 0.85572

63 0.00000 0.00000 0.00020 0.00739 0.12911 0.86329

64 0.00000 0.00000 0.00017 0.00662 0.12272 0.87048

65 0.00000 0.00000 0.00014 0.00593 0.11661 0.87731

66 0.00000 0.00000 0.00012 0.00531 0.11076 0.88380

67 0.00000 0.00000 0.00010 0.00475 0.10517 0.88997

68 0.00000 0.00000 0.00009 0.00425 0.09983 0.89583

69 0.00000 0.00000 0.00007 0.00380 0.09474 0.90138

70 0.00000 0.00000 0.00006 0.00340 0.08988 0.90665