Nella
nota precedente è stata esaminata la statistica di presenza
| 1) XT = N.q(R-1)
R=1 ; 2 ; 3... |
con q=17/18
(si ricordi q=1-p essendo p= 1/18 la
probabilità di estrazione di un numero). Di fatto essa ci dice
quanti di N numeri iniziali sono ancora in piedi (non sono
cioè ancora stati estratti) dopo R-1 estrazioni per cui sono
ancora presenti al ritardo R (dove possono cadere).
E’ stato altresì
visto come la 1) può dare immediatamente luogo a tre statistiche
teoriche di presenza LT, NT e PT dove N
è rispettivamente 5; 50 e 10. Queste statistiche si sono rivelate
utili per calcolare alcune aspettabilità parziali (AL, AN
e AP che sono tra le più semplici fra quelle impiegate nel
programma GDS33, su questo sito).
In questa nota
estendiamo le applicazioni della 1) supponendo di essere al ritardo R
e di sommare tutti i termini dall’ R-esimo termine
(compreso) in poi. Il valore risultante SXT ci dirà quanti
numeri saranno presenti dal ritardo R (compreso) fino all’infinito.
Facendo uso della proprietà della serie geometrica (vedere
Appendice nella prima nota di questa serie) si dimostra facilmente
che è:
| 2) SXT =
N.q(R-1)/p ( da R
a infinito) |
Come si vede la 2) è
identica alla 1) salvo per il fattore 1/p. Anche la 2) dà
origine a varie statistiche, che per la loro origine possono essere
dette integrali. La prima si ottiene applicando la 2) alla
descrizione della colonna dei ritardi (cfr. il primo articolo),
ponendo N=5 e p=1/18. Indicando tale statistica con DT si ha:
| 3) DT = 90.
q(R-1) (da R=1 ;
2 ; 3.. a infinito) |
Come si vede per R=1
si ottiene 90 : il totale dei 90 numeri. Se poniamo DT=1 e
invertiamo la formula si ottiene facilmente R=1+
log(90)/log(1/q)= 79,72 =80 che è definito ritardo
normale del singolo numero (ciò perché a R=80 ci
aspettiamo di trovare l’ultimo dei 90 numeri); analogamente se
ripetessimo i calcoli per DT=2; DT=3 ecc. troveremmo
la sequenza ideale di presenza.
La seconda
statistica, indicata con WT, si ottiene prendendo in
considerazione non l’intera colonna dei ritardi ma solo una delle
5 sotto-colonne che la costituiscono. In tal caso è evidentemente N=1
mentre p rimane inalterato. Pertanto si ha:
| 4) WT = 18.
q(R-1) (da R=1 ;
2 ; 3... a infinito) |
che per R=1
dà WT=18=90/5. In effetti ci attendiamo che i 90 numeri si
ripartiscano in modo uguale fra le 5 posizioni (sottocolonne).
La terza statistica,
denominata BT, ha un’origine alquanto diversa. Prefissiamo
uno qualsiasi dei 90 numeri, che d’ora per maggiore chiarezza,
denomineremo "lottroni" (dal momento che la parola
numero ha un significato più generale). Scegliamo ad esempio il
lottrone 7 e andiamo a vedere quali ritardi esso ha sulle 10 ruote.
Per avere la statistica teorica si deve dividere la 3) per 90: tanti
essendo i lottroni di una ruota, e quindi moltiplicare per 10, tante
essendo le ruote diverse:
| 5)
BT = 10. q(R-1)
(da R=1 ; 2 ; 3... a infinito) |
In altre parole
questa statistica ci dice su quante ruote il lottrone prefissato è
presente dal ritardo R compreso in poi. Ovviamente
si hanno 90 statistiche BT diverse.
Come già rilevato
per i casi presentati nella nota precedente, anche le statistiche
reali presentate in questa nota, e denominate rispettivamente DR,
WR e BR, sono immediatamente deducibili dalle colonne
dei ritardi. Per DR basta contare quanti lottroni sono ancora
presenti in una colonna dei ritardi da R compreso in poi. Per
WR si deve prima prefissare la posizione (o sottocolonna) di
una ruota e contare come sopra. Ovviamente si hanno 5 possibilità
diverse per ciascuna ruota. Per BR si deve selezionare prima
uno dei 90 lottroni e quindi, fissato R, contare in quante
ruote il ritardo del lottrone è superiore o uguale a R.
Ovviamente si hanno 90 statistiche diverse, una per ogni lottrone.
Anche per queste
statistiche si possono ottenere le corrispondenti aspettabilità
parziali (Apz) AD, AW e AB con la nota formula:
dove X sta per
D, W e B; il valore ottenuto dell’aspettabilità
parziale va attribuito solo ai lottroni al ritardo R
(perché come sono distribuiti i lottroni con ritardo superiore non
ha alcuna importanza: conta solo il loro numero).
Anche queste 3 Apz
sono tra quelle più semplici utilizzate nel calcolo delle
previsioni fatte col metodo GDS33 che appare dopo ogni estrazione su
questo sito.
Chiudiamo con una
curiosità relativa alle Apz derivate da queste statistiche
integrali. Limitandoci a fissare l’attenzione su AD,
supponiamo che una ruota abbia per gli ultimi quattro ritardatari i
ritardi 74; 91 ; 93 e 100 (chiaramente vi è un addensamento in
coda). Allora DR assume i valori 4; 3; 2 e 1 rispettivamente
per R=74; 91; 93 e 100. Si ottiene allora facilmente la
seguente tabella utilizzando la 3) per calcolare DT e la 6)
per calcolare AD:
| R |
DR |
DT |
AD |
| 100 |
1 |
0,314 |
0,761 |
| 93 |
2 |
0,468 |
0,810 |
| 91 |
3 |
0,525 |
0,851 |
| 74 |
4 |
1,387 |
0,743 |
Come si vede il
valore massimo dell’Apz non si osserva per il massimo lottrone
ritardatario ma per uno dei successivi: poiché vi è un accumulo di
lottroni ai grandi ritardi, è come se quelli che sono in coda in
modo troppo ravvicinato, avessero difficoltà a procedere perché le
posizioni successive sono occupate da altri lottroni ritardatari.
Il fisico
