Forza elastica e geometria analitica

Dipendenza lineare

In questa sezione andremo a generalizzare la relazione di proporzionalità diretta, partendo proprio dagli esempi che abbiamo visto nelle sezioni precedenti. In base a quanto abbiamo visto, due grandezze A e B si dicono direttamente proporzionali se A = k · B, dove k è una certa costante di proporzionalità. Come esempio, abbiamo detto che la forza F applicata a una molla e l'allungamento x prodotto sulla molla sono grandezze direttamente proporzionali. Il diagramma cartesiano associato è una semiretta passante per l'origine. Supponiamo invece di voler disegnare il grafico della forza-peso in funzione della lunghezza finale l_f della molla e non del suo allungamento x. Siccome x = l_f - l_i avremo che la relazione di proporzionalità diretta F = k · x diventa: F = k · (l_f - l_i) = k · l_f - k · l_i.

Qual è la rappresentazione grafica della precedente relazione matematica? Ricordiamoci che il grafico della forza applicata in funzione dell'allungamento x è una semiretta passante per l'origine. Ora la lunghezza finale della molla è la somma della lunghezza iniziale della molla e del suo allungamento, in formule l_f = x + l_i. Siccome ad ogni valore dell'allungamento x presente nel grafico forza - allungamento dobbiamo sommare la lunghezza iniziale l_i della molla per avere la lunghezza finale l_f, avremo che il grafico risulta traslato di una quantità fissa pari alla lunghezza iniziale l_i della molla. Per fissare le idee supponiamo che l_i = 2.0 cm. A tutte le celle della prima riga della tabella allungamento - forza dobbiamo sommare la lunghezza iniziale della molla. Otteniamo così:

lf (cm)	2.0	4.0	6.1	7.9	9.9
F (N)	0	0.3	0.6	0.9	1.2

La rappresentazione grafica della precedente tabella è la seguente:

La retta che abbiamo ottenuto ha la stessa pendenza della retta forza - allungamento, ma non passa più per l'origine. Il suo punto di partenza è infatti il punto P = (2.0, 0) avente per ascissa la lunghezza iniziale della molla. In questi casi non possiamo più parlare di proporzionalità diretta: infatti il rapporto tra la forza F e la lunghezza finale l_f non è più uguale a una costante. In altre parole, se raddoppiamo la forza non è più vero che raddoppia la lunghezza finale della molla e viceversa. In questi casi si parla di dipendenza lineare fra le due grandezze fisiche forza e lunghezza della molla.