Forza elastica e geometria analitica
Esercizi
Quesito: Supponiamo di appendere un peso di 8 N a una molla provocandone un allungamento pari a 6 cm. Di quanto si allunga la stessa molla se vi appendiamo un peso di 16 N? E se vi appendiamo un peso di 24 N? E se vi appendiamo una massa di 300 g?
Risposta: Il peso applicato alla molla e l'allungamento della molla sono direttamente proporzionali. Pertanto se il peso raddoppia passando da 8 N a 16 N, raddoppia anche l'allungamento passando da 6 cm a 12 cm. Se il peso triplica, passando da 8 N a 24 N, anche l'allungamento triplicherà, passando da 6 cm a 18 cm. Dai precedenti dati possiamo anche ricavarci la costante elastica della molla:
k = F / x = 8 N / 6 cm = 8 N / 0.06 m = 133 N / m.Per rispondere all'ultima domanda dobbiamo ricordare che la forza-peso di un corpo è uguale alla massa moltiplicata per 9.8 N / kg, ossia: F = 0.3 kg · 9.8 N / kg = 2.94 N. Nota bene: siccome la costante elastica della molla è espressa in N / kg, è fondamentale convertire la massa da kilogrammi a grammi, prima di inserire il suo valore numerico nella formula della forza-peso. L'allungamento x provocato da una forza F = 2.94 N si ricava dalla formula x = F / k:
x = F / k = 2.94 / 133 m = 0.022 m = 2.2 cm.Un altro modo per rispondere all'ultima domanda, prescindendo dalla conoscenza del valore della costante elastica, è quello di impostare una proporzione. Siccome la forza e l'allungamento sono direttamente proporzionali, possiamo scrivere la proporzione 8 N : 6 cm = 2.94 N : x cm, dove l'unica incognita è rappresentata dall'allungamento x. Siccome in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi avremo che 8 · x = 6 · 2.94 da cui l'allungamento provocato da una forza F = 2.94 N risulta x = 6 · 2.94 / 8 = 2.2 cm.
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Quesito: Qual è la costante elastica di una molla che si allunga di 34 mm quando le viene applicata una massa di 1.5 kg?
Risposta: La forza applicata alla molla è F = 1.5 · 9.8 = 14.7 N. Se vogliamo ottenere la costante elastica nelle unità del Sistema Internazionale dobbiamo convertire i millimetri in metri: x = 34 mm = 0.034 m, da cui la costante elastica della molla è:
k = F / x = 14.7 N / 0.034 m = 432 N / m.
