Lavoro e potenza

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Esercizi

  1. Quesito: Quale lavoro compie un ciclista di massa m = 65 kg per scalare una salita al 7% lunga 800 m?

    Risposta: Una salita ha una pendenza del 7% se si alza di 7 m ogni 100 m. Possiamo ricavarci l'altezza h della salita risolvendo la proporzione: 7 m : 100 m = h : 800 m da cui h = (800 · 7 / 100) m = 56 m. Trascurando il contributo della bicicletta, la forza che il ciclista deve applicare è pari al suo peso F = m · g = 65 kg · 9.8 N / kg = 637 N. Il lavoro che deve compiere è pari a L = F · h = 637 N · 56 m = 3.57 · 104 J. Il lavoro che un ciclista deve compiere per percorrere una salita è proporzionale alla sua forza-peso: questa è la ragione per cui gli scalatori più forti sono sempre molto leggeri.

  2. Quesito: Una gru compie un lavoro di 90 000 J per sollevare un certo carico di massa 500 kg in 20 s. Si determini a quale altezza viene sollevato il carico e qual è la potenza sviluppata dalla macchina?

    Risposta: Dalla massa otteniamo il peso F = m · g = 500 kg · 9.8 N / kg = 4900 N. Da questo dato e dal lavoro L = 90 000 J possiamo ricavarci l'altezza a cui viene sollevato il carico. Infatti, poiché la forza e lo spostamento sono paralleli, abbiamo che L = F · h da cui, dividendo per F, otteniamo h = L / F = (90 000 J) / (4900 N) = 18.4 m. La potenza si può calcolare usando la definizione di potenza:
    P = L / Δt = (90 000 J) / (20 s) = 4500 W = 4.5 kW.

  3. Quesito: Una pompa solleva 200 l d'acqua a un'altezza di 30 m in un minuto. Calcolare il lavoro compiuto dalla pompa e la sua potenza.

    Risposta: Ricordiamoci che la densità dell'acqua è d = 1000 kg / m3. Pertanto un volume d'acqua V = 200 l = 200 dm3 = 0.2 m3 corrisponde ad una massa
    m = d · V = 1000 kg / m3 · 0.2 m3 = 200 kg. (Si poteva arrivare immediatamente a questo risultato tenendo conto che 1 l d'acqua corrisponde a una massa di 1 kg).
    La forza-peso F di 200 kg d'acqua è F = m · g = 200 kg · 9.8 N / kg = 1960 N. Il lavoro compiuto dalla pompa è pari a L = F · h = 1960 N · 30 m = 5.88 · 104 J. Ricordando che 1 min = 60 s, abbiamo che la potenza è P = L / Δt = 5.88 · 104 / 60 W = 980 W.

  4. Quesito: Una scatola subisce uno spostamento orizzontale di 120 m. Calcolare il lavoro compiuto da una forza avente intensità 30 N e direzione: a) parallela allo spostamento, b) inclinata di 30° rispetto allo spostamento, c) inclinata di 45° rispetto allo spostamento, d) inclinata di 60° rispetto allo spostamento, e) perpendicolare allo spostamento.

    Risposta: Potremmo ricorrere per risolvere l'esercizio alle solite costruzioni geometriche di triangoli equilateri e quadrati. Se però disponiamo di una calcolatrice scientifica possiamo arrivare al risultato in maniera molto più rapida. Se infatti indichiamo con α l'angolo tra il vettore forza e il vettore spostamento, la componente parallela è data da: F|| = F · cos α da cui possiamo ottenere il lavoro dalla seguente formula L = F · cos α · s. Nella seguente tabella riportiamo il risultato del lavoro per diversi valori di α:

    α 0 30° 45° 60° 90°
    cos α 1 0.866 0.707 0.5 0
    L (J) 3600 3118 2546 1800 0

    Con queste formule possiamo anche calcolare il lavoro compiuto da una forza inclinata di un angolo α generico rispetto allo spostamento.
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