Caratteristiche geometriche di un arco parabolico
Problema. Determinare le espressioni analitiche della lunghezza lAB e delle coordinate xG e yG del baricentro G dell’arco parabolico AB in figura.
Il tratto elementare di parabola ha una lunghezza
dl pari a 
nella quale y’=2mx è la derivata prima della funzione parabolica
La lunghezza dell’arco AB è data da
I momenti statici dell’arco AB calcolati rispettivamente agli assi x ed y valgono
.
Le coordinate del baricentro risultano quindi
Lunghezza dell’arco parabolico
Con il metodo di sostituzione si può porre 2mx = senh t, dove senh t è la funzione seno iperbolico della variabile di sostituzione t.
La trasformazione opposta è effettuabile tramite la funzione settorseno iperbolico
con
Essendo d(senh t) = cosh t dt e
,
si ha
Ricordando che
si ha
Si può ora applicare la regola di integrazione per somma ricordando che
Essendo
si ha
Ripristinando la variabile originaria x si ottiene
Momento statico rispetto all’asse y
Con il metodo di sostituzione si può porre 2mx = senh t, dove senh t è la funzione seno iperbolico della variabile di sostituzione t.
E’ quindi
Essendo d(senh t) = cosh t dt e
si ha
Poiché la derivata di
è
si ha
Essendo
Ripristinando la variabile originale, si ottiene
L’arco uscente dall’origine ha momento statico
Momento statico rispetto all’asse x
Con il metodo di sostituzione si può porre 2mx = senh t, dove senh t è la funzione seno iperbolico della variabile di sostituzione t.
E’ quindi
Essendo d(senh t) = cosh t dt e
si ha
Essendo
si ha
Poiché è
si ha
e
Si può ora applicare la regola di integrazione per somma ricordando che
Poiché è
si ottiene
Ripristinando la variabile originale, si ottiene
In definitiva si ottiene
Esempio di calcolo
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Si vogliono determinare la lunghezza e le coordinate baricentriche dell’arco parabolico OA della parabola
con xA = 2 m. |
m = 0,5
Risultando pari a zero il valore della funzione calcolata per x = 0, è sufficiente effettuare il calcolo per x = 2.
Risultando pari a zero il valore della funzione calcolata per x = 0, è sufficiente effettuare il calcolo per x = 2.
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