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 Sia f(x) una funzione continua e
positiva in [a,b];graficamente la
figura delimitata dalla curva della
funzione, dall’asse x e dalle rette
x=a; x=b, è un
trapezoide
Per valutare l’area di tale trapezoide, si osserva che:
essendo la
funzione continua in
[a,b], per il teorema di
Weierstrass, essa
assume un
valore minimo e un
valore
massimo ;il rettangolo
che ha per
base l’intervallo [a,b] e per
altezza il minimo (m) della
funzione,è inscritto
nel trapezoide
Il rettangolo
che ha per base
l’intervallo [a,b] e per altezza il massimo (M) è
circoscritto al trapezoide.
 Iterando il procedimento, ossia
suddividendo l’intervallo [a,b] in sottointervalli di ampiezza  ,
si costruiscono dei rettangolini con
base su ogni
sottointervallo di ampiezza h e per altezza i valori
minimi (mi )della funzione in
tali sottointervalli.
L’unione degli n rettangolini è il
plurirettangolo inscritto nel trapezoide.
 Costruendo dei rettangolini con base su ogni sottointervallo
di
ampiezza h e per altezza i valori massimi (Mi
)della
funzione in tali sottointervalli, l’unione degli n
rettangolini è il
plurirettangolo circoscritto al trapezoide
Osservazioni
L’area del plurirettangolo inscritto nel trapezoide
è : sn=m1h1+m2h2+………
L’area del plurirettangolo circoscritto al
trapezoide è :Sn=M1h1+M2h2+………
Essendo mi≤ Mi ,
risulta sn≤ Sn , e
sn≤ area trapezoide ≤ Sn
Teorema: al crescere di n si
costruiscono due successioni di valori, approssimati per difetto e per
eccesso,
dell’area del trapezoide. Se la funzione è
continua in [a,b], tali successioni tendono allo stesso limite che
si assume come area del trapezoide ed è
l’integrale definito della funzione secondo
Riemann.
Osservazioni
- l’integrale
definito è un numero reale,
- l’integrale
indefinito è una famiglia di funzioni ossia l’insieme delle primitive.;
- l’integrale di Riemann è l’unico numero reale, elemento di separazione, minore
delle somme superiori e
maggiore
delle somme inferiori
Esempio con
Excel
1.1
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