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Volumi di solidi di rotazione

Sia  f(x) una funzione continua e non negativa nell’intervallo [a,b],

 facendo ruotare il trapezoide, limitato dal grafico della funzione,

 dall’asse x e dalle rette x=a, e x=b, con una rotazione completa

 attorno all’asse x, si genera un solido di rotazione.  

Per il calcolo del volume, si suddivide l’intervallo [a,b], in

  sottointervalli di ampiezza       e su di essi si 

 costruiscono dei rettangoli aventi per base tali ampiezze e per altezze i minimi  (m_i), o i

 massimi (M_i) che la funzione assume in tali sottointervalli. Si ottiene così un plurirettangolo inscritto e un

 plurirettangolo circoscritto al trapezoide.

In una rotazione completa attorno all’asse x, ogni rettangolino descrive un cilindro avente per altezza h e

 raggio di base m_i  se esso è inscritto o M_i se esso è circoscritto.

I plurirettangoli descrivono due solidi di rotazione, aventi la stessa altezza h, detti pluricilindri inscritti e

 circoscritti

 Per si ottengono due successioni di valori per difetto e per eccesso del volume del solido di

 rotazione, che convergono allo stesso limite che è uguale all’integrale definito

Tra i solidi di rotazione si determinano i volumi:

• del cono
• del cilindro
• della sfera