Rifrazione e lenti

 

Esercizi

1. Quesito: Consideriamo una lente convergente avente distanza focale 30 cm e un oggetto di altezza 20 cm. Si trovi la distanza alla quale si forma l'immagine dell'oggetto quando quest'ultimo viene posto a una distanza di 40 cm dalla lente e quando viene posto a una distanza di 15 cm dalla lente. Si calcoli anche l'altezza dell'immagine nei due casi.

   Risposta: Per rispondere alla prima domanda dobbiamo applicare l'usuale formula dei punti coniugati: 1 / p + 1 / q = 1 / f. Invertendo tale formula, possiamo trovare la distanza dell'immagine q. Infatti 1 / q = 1 / f - 1 / p da cui 1 / q = (p - f) / (p · f) e la distanza dell'immagine diventa q = p · f / (p - f). Nel primo caso p₁ = 40 cm, la distanza dell'immagine vale q₁ = p₁ · f / (p₁ - f) = 40 · 30 / (40 - 30) = 120 cm. Avendo ottenuto un numero maggiore di zero, l'immagine risulta essere reale e capovolta. Nel secondo caso invece p₂ = 15 cm e q₂ = 15 · 30 / (15 - 30) = -30 cm. Avendo ottenuto un numero negativo l'immagine è virtuale (ossia si forma sui prolungamenti dei raggi emergenti) e diritta.
   Per scoprire di quanto l'immagine viene ingrandita o rimpicciolita dobbiamo calcolarci il fattore d'ingrandimento G = q / p. Nel primo caso G₁ = 120 / 40 = 3 e l'immagine risulta ingrandita di tre volte rispetto all'oggetto: la sua altezza è 60 cm. Nel secondo caso G₂ = 30 / 15 = 2 e l'immagine risulta ancora ingrandita, avendo un'altezza doppia rispetto a quella dell'oggetto: la sua altezza è pari a 40 cm.

2. Quesito: Consideriamo una lente divergente avente distanza focale di 30 cm e un oggetto di altezza 20 cm. Si trovi la distanza alla quale si forma l'immagine dell'oggetto quando quest'ultimo viene posto a una distanza di 40 cm dalla lente e quando viene posto a una distanza di 15 cm dalla lente. Si calcoli anche l'altezza dell'immagine nei due casi. Qual è il numero di diottrie della lente?

   Risposta: Dal momento che la lente è divergente, avremo che la sua distanza focale è negativa f = -30 cm. Nel primo caso, in cui p₁ = 40 cm, la distanza alla quale si viene a formare l'immagine dell'oggetto è q₁ = p₁ · f / (p₁ - f) = -40 · 30 / (40 + 30) = -17 cm. La distanza dalla lente alla quale si viene a formare la seconda immagine è invece data da: q₂ = p₂ · f / (p₂ - f) = -15 · 30 / (30 + 15) = -10 cm. In entrambi i casi la distanza dell'immagine è negativa, ossia in entrambi i casi l'immagine è virtuale, come dev'essere dal momento che la lente è divergente.
   Usando la solita formula per il fattore d'ingrandimento G = q / p scopriamo facilmente che nel primo caso G₁ = 17 / 40 = 0.425 mentre nel secondo caso G = 10 / 15 = 0.67. In entrambi i casi il fattore d'ingrandimento è un numero minore di 1. Infatti sappiamo che, indipendentemente dalla posizione dell'oggetto, l'immagine prodotta da una lente divergente è rimpicciolita. Moltiplicando G per l'altezza dell'oggetto otteniamo facilmente l'altezza dell'immagine nei due casi (8.5 cm e 13.4 cm rispettivamente).
   Infine, per avere il numero di diottrie della lente, dobbiamo per prima cosa convertire la distanza focale in metri: f = -0.3 m. A quel punto il potere diottrico della lente è dato da d = -1 / (0.3 m) = -3.33 diottrie.

3. Quesito: Si consideri una lente divergente di distanza focale 20 cm. Dove dobbiamo posizionare l'oggetto affinché la sua immagine risulti rimpicciolita di un terzo?

   Risposta: I dati del problema sono f = -20 cm e G = -1 / 3, dove abbiamo usato il fatto che in una lente divergente la distanza dell'immagine e il fattore d'ingrandimento sono sempre negativi. Possiamo riscrivere il fattore d'ingrandimento come G = q / p da cui la distanza dell'immagine è q = G · p = - p / 3. Tale espressione può essere sostituita nella formula dei punti coniugati 1 / q + 1 / p = 1 / f per ottenere - 3 / p + 1 / p = 1 / f che possiamo riscrivere come - 2 / p = 1 / f o anche p = - 2f = 40 cm.