Forza elastica e geometria analitica

 

Cenni di geometria analitica

Prima di procedere sfruttiamo l'esempio precedente per introdurre alcuni brevi e semplici cenni di geometria analitica che ci saranno utili nel corso di queste lezioni. Per capire che relazione intercorre tra due grandezze che compaiono nella descrizione di un fenomeno fisico andremo a rappresentare i risultati delle misure di tali grandezze su un diagramma cartesiano: un diagramma cartesiano è costituito da due assi perpendicolari, detti ascissa (asse orizzontale) e ordinata (asse verticale). Ad ogni asse viene associata una delle grandezze in esame (nel nostro esempio, l'allungamento della molla è associato all'ascissa, la forza-peso è associata all'ordinata).

Una coppia di misure (nel nostro caso allungamento - forza) identifica in maniera univoca un punto sul diagramma cartesiano. Viceversa ogni punto del diagramma cartesiano è caratterizzato da una coppia di valori allungamento-forza, detti coordinate cartesiane del punto. Supponiamo che x₁ sia la misura dell'allungamento associato alla forza F₁. Allora sul diagramma cartesiano rimane univocamente determinato il punto P = (x₁, F₁) di ascissa x₁ e ordinata F₁.

Come abbiamo visto dal grafico della sezione precedente, i punti P che corrispondono alle varie misure di allungamento della molla e forza-peso applicata giacciono su una retta che passa per l'origine. Qui entra in gioco un'altra regola fondamentale della geometria analitica: se i punti sono caratterizzati da una coppia ordinata di valori P = (ascissa, ordinata), le rette sono caratterizzate da equazioni matematiche. In particolare i punti del grafico che abbiamo disegnato nella sezione precedente giacciono, nei limiti degli errori sperimentali, sulla retta di equazione F = 0.15 · x, dove F è la forza applicata e x = l_f - l_i è l'allungamento della molla.

Se una retta passa per l'origine degli assi cartesiani allora il punto O = (0, 0) deve soddisfare l'equazione della retta. Questo è quanto avviene nel caso del nostro esempio F = 0.15 · x. Infatti se l'ascissa x = 0 allora l'ordinata F = 0.15 · x = 0, ossia anche l'ordinata risulta uguale a 0. Passiamo a considerare il secondo punto del grafico: P = (2.0, 0.3). Le sue coordinate soddisfano l'equazione della retta F = 0.15 · x. Infatti abbiamo che 0.3 = 0.15 · 2.0. In generale dunque un punto sta sulla retta se le sue coordinate soddisfano l'equazione della retta, un punto non sta sulla retta se le sue coordinate non soddisfano l'equazione della retta. Ad esempio il punto (1, 0) non sta sulla retta perché se al posto di F sostituiamo 0 e al posto di x sostituiamo 1, l'uguaglianza F = 0.15 · x non è soddisfatta poiché 0 ≠ 0.15 · 1.

Concludiamo questa sezione con una generalizzazione. Il valore numerico 0.15 che abbiamo ottenuto nel nostro esempio è una conseguenza del particolare tipo di molla che abbiamo utilizzato e della sua elasticità. In generale se usiamo altri tipi di molle, questo valore numerico può cambiare ma continueremo ad ottenere delle semirette passanti per l'origine. I punti giaceranno su rette di equazione F = k · x, dove k è la costante che caratterizza l'elasticità della molla.