sei sul sito di Giovanni Fraterno
Peano dimostrò l'ammissibilità di un'aritmetica senza zero ?
inizio
3)
From: giofra giofra@freemail.it
Newsgroups: it.scienza.matematica
Sent: Sunday, August 18, 2002 10:37 AM
Subject: Zero, Peano, e i suoi 5 postulati: qual'è la verità storica ?
> Giacomo ha scritto:
> Eccoti gli assiomi di Peano:
> 1) 0 è un numero naturale
> 2) Ogni numero naturale ha un successivo
> 3) 0 non è il successivo di nessun numero
> naturale
> 4) Se i successivi di due numeri sono uguali,
> allora i due numeri sono uguali
> 5) Se una parte A dell'insieme N dei numeri
> naturali contiene lo 0 e se, contenendo un
> numero, contiene anche il suo successivo,
> allora A coincide con N
> (principio di induzione matematica).
Dal libro di Aritmetica di Scuola Media Inferiore:
'Aritmetica' (volume unico)
di Moriani, Nobel, Avitabile e Cuzzolin
casa editrice Ferraro (Napoli)
a pag. 62 si legge:
=========
'Ammesso che i concetti di numero naturale
e di successivo di un numero sono concetti
primitivi, cioè non definibili, Peano fissò
cinque postulati, sui quali è possibile costruire
tutta l'aritmetica.
Enunciamo i primi quattro:
1) 1 è un numero naturale
2) ogni numero naturale ha un unico successore
3) 1 non è il successore di alcun numero
4) due numeri naturali sono uguali se hanno
lo stesso successore.
Il quinto postulato, detto principio d'induzione,
richiede qualche parola in più dei precedenti.
Supponiamo che A sia un sottoinsieme dei
numeri naturali tale che 1 appartenga ad A e
tale che, se un numero x appartiene ad A
allora anche il successivo di x appartiene ad A ;
in tal caso A è l'inisieme di tutti numeri naturali.
Il quinto postulato di Peano implica che l'insieme
dei numeri naturali è infinito; infatti, qualunque
sia il numero naturale x, esiste sempre il suo
successivo, ed è anch'esso un numero naturale;
ed esiste anche il successivo del successsivo,
e così via senza limiti.
Si osservi che Peano considera l'1 e non lo
0 come primo elemento dell'insieme N.'
=========
Insomma, Giacomo, e altri, dicono di sapere che
Peano considerò 0 (zero) un numero naturale, mentre
a me, e ad altri, risulta che Peano non considerò 0
un numero naturale.
Segnalo che anche sui siti web anglosassoni,
quando vengono illustrati gli assiomi di Peano, compare
a volte 1 e a volte 0, e debbo dire che più spesso appare 1.
Si veda, ad esempio, ciò che è riportato sul sito web con url:
http://www.philosophypages.com/dy/p2.htm
Qual'è la verità storica in merito ?
Peano considerò o no 0 (zero) un numero naturale ?
La domanda la ritengo di notevole importanza sia dal
punto di vista storico che della stessa matematica,
perchè si tratta di sapere se Peano, fissando i suoi
cinque postulati, ritenne o meno lo 0 (zero) indispensabile
nella costruzione di tutta l'aritmetica.
Giovanni.
*************
2)
From: giofra giofra@freemail.it
Newsgroups: it.scienza.matematica
Sent: Sunday, August 18, 2002 10:33 PM
Subject: Re: Zero, Peano, e i suoi 5 postulati: qual'è la verità storica ?
> St Thommaso ha risposto:
> Domani vado a dare un'occhiata
> ai testi in biblioteca, e se
> trovo qualcosa farò sapere.
Il testo di Peano che bisogna cercare è:
'Arithmetices principia, nova methodo exposita'
pubblicato nel 1889.
E dove appunto sono enunciati gli assiomi di Peano.
Ciao e grazie.
Giovanni.
*************
1) (in realtà sono due messaggi)
From: giofra giofra@freemail.it
Newsgroups: it.scienza.matematica
Sent: Monday, August 19, 2002 10:59 PM
e Tuesday, August 20, 2002 9:28 AM
Subject: Re: Zero, Peano, e i suoi 5 postulati: qual'è la verità storica ?
> St Thommaso ha scritto:
> Dal libro:
>
> van Heijenoort (ed.)
> 'From Frege to Gödel -
> a spurce book in mathematical logic-'
> (1967) Harvard University Press,
> Cambridge
> G. Peano 'The priciples of arithmetic,
> presented with a new method'
> (trad. inglese del testo del 1889)
>
> Peano, a partire dai suoi assiomi,
> deriva alcuni teoremi, e definisce
> la sottrazione, la moltiplicazione,
> l'elevamento a potenza e la divisione.
>
> Dello 0 (zero) nessuna traccia, anche se
> vi è la prima definizione nel paragrafo
> della sottrazione.
>
> Entrando a poco a poco nella notazione
> di Peano si ha che:
> indichiamo con F una proposizione che
> è sempre falsa.
>
> Per la SOTTRAZIONE:
> 1) a,b E N ---> b-a=N
> per ogni x tale che x+a=b
> Qui bisogna che vada a controllare su
> un'altra versione del testo perché,
> intuitivamente e stando alla sua maniera
> di procedere, dovrebbe essere piuttosto
> 1') a,b E N ---> b-a E N
> per ogni x tale che x+a=b
> Il fatto è che pur intuendo ciò che Peano
> vuole dire, utilizza quella che dovrebbe
> essere una quantificazione un po' bislacca.
> Per di più il suo formalismo interpretato
> e quindi l'intrusione di interpretazioni
> insiemistiche, non aiuta di certo la lettura.
> 2) a,b E N ---> ((a minore b)=~((b-a)=F))
> 3) a,b E N ---> b>a = a minore b
>
> Per l'ADDIZIONE:
> a,b E N ---> a+(b+1)=(a+b)+1
> che va letto: se a e b sono dei numeri, e
> se ((a+b)+1) ha un significato, nel senso
> che (a+b) è un numero e che quindi ((a+b)+1)
> è un numero, (a+(b+1)) significa il numero
> che succede ad (a+b)
> quindi si ha:
> a E N ---> a+2=((a+1)+1)=(a+(1+1))
> etc.
>
> Quindi Peano stabilisce alcuni teoremi:
> 1) a,b E N ---> a+b E N
> 4) a,b,c E N ---> (a=b)=((a+c)=(b+c))
> 6) a E N ---> (1+a)=(a+1)
> 8) a,b E N ---> (a+b)=(b+a)
> 10) a,b,c E N --->
> ---> (((a=b)^(c=d)) --> ((a+c)=(a+d)))
In base a quanto da te
riportato, ciò che Peano sembra fare è semplicemente
IGNORARE DEL TUTTO LO 0 (ZERO),
lasciando capire che ciò che lui pensava nel
merito è che:
LO 0 (ZERO) NON E' AFFATTO INDISPENSABILE
NELLA COSTRUZIONE DI TUTTA L'ARITMETICA.
Non indispensabilità dello 0 (zero) nella
costruzione di tutta l'aritmetica che Peano
sembra sia riuscito a dimostrare, ma SOLO
SUL PIANO FORMALE, ed appunto nel suo libro del 1889:
'Arithmetices principia, nova methodo exposita'.
Ciò che Peano non ha fatto, e che io credo
di aver fatto, è far vedere che EFFETTIVAMENTE
SI PUO' DAR CORPO ad un'aritmetica senza 0 (zero).
Si vedano a tal fine i paragrafi:
Addizione fra numeri interi:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/uno.htm
Sottrazione fra numeri interi:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/due.htm
Moltiplicazione fra numeri interi:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/sette.htm
Divisione fra numeri interi e con quoziente intero:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/otto.htm
Giovanni.
fine
3)
From: giofra giofra@freemail.it
Newsgroups: it.scienza.matematica
Sent: Sunday, August 18, 2002 10:37 AM
Subject: Zero, Peano, e i suoi 5 postulati: qual'è la verità storica ?
> Giacomo ha scritto:
> Eccoti gli assiomi di Peano:
> 1) 0 è un numero naturale
> 2) Ogni numero naturale ha un successivo
> 3) 0 non è il successivo di nessun numero
> naturale
> 4) Se i successivi di due numeri sono uguali,
> allora i due numeri sono uguali
> 5) Se una parte A dell'insieme N dei numeri
> naturali contiene lo 0 e se, contenendo un
> numero, contiene anche il suo successivo,
> allora A coincide con N
> (principio di induzione matematica).
Dal libro di Aritmetica di Scuola Media Inferiore:
'Aritmetica' (volume unico)
di Moriani, Nobel, Avitabile e Cuzzolin
casa editrice Ferraro (Napoli)
a pag. 62 si legge:
=========
'Ammesso che i concetti di numero naturale
e di successivo di un numero sono concetti
primitivi, cioè non definibili, Peano fissò
cinque postulati, sui quali è possibile costruire
tutta l'aritmetica.
Enunciamo i primi quattro:
1) 1 è un numero naturale
2) ogni numero naturale ha un unico successore
3) 1 non è il successore di alcun numero
4) due numeri naturali sono uguali se hanno
lo stesso successore.
Il quinto postulato, detto principio d'induzione,
richiede qualche parola in più dei precedenti.
Supponiamo che A sia un sottoinsieme dei
numeri naturali tale che 1 appartenga ad A e
tale che, se un numero x appartiene ad A
allora anche il successivo di x appartiene ad A ;
in tal caso A è l'inisieme di tutti numeri naturali.
Il quinto postulato di Peano implica che l'insieme
dei numeri naturali è infinito; infatti, qualunque
sia il numero naturale x, esiste sempre il suo
successivo, ed è anch'esso un numero naturale;
ed esiste anche il successivo del successsivo,
e così via senza limiti.
Si osservi che Peano considera l'1 e non lo
0 come primo elemento dell'insieme N.'
=========
Insomma, Giacomo, e altri, dicono di sapere che
Peano considerò 0 (zero) un numero naturale, mentre
a me, e ad altri, risulta che Peano non considerò 0
un numero naturale.
Segnalo che anche sui siti web anglosassoni,
quando vengono illustrati gli assiomi di Peano, compare
a volte 1 e a volte 0, e debbo dire che più spesso appare 1.
Si veda, ad esempio, ciò che è riportato sul sito web con url:
http://www.philosophypages.com/dy/p2.htm
Qual'è la verità storica in merito ?
Peano considerò o no 0 (zero) un numero naturale ?
La domanda la ritengo di notevole importanza sia dal
punto di vista storico che della stessa matematica,
perchè si tratta di sapere se Peano, fissando i suoi
cinque postulati, ritenne o meno lo 0 (zero) indispensabile
nella costruzione di tutta l'aritmetica.
Giovanni.
*************
2)
From: giofra giofra@freemail.it
Newsgroups: it.scienza.matematica
Sent: Sunday, August 18, 2002 10:33 PM
Subject: Re: Zero, Peano, e i suoi 5 postulati: qual'è la verità storica ?
> St Thommaso ha risposto:
> Domani vado a dare un'occhiata
> ai testi in biblioteca, e se
> trovo qualcosa farò sapere.
Il testo di Peano che bisogna cercare è:
'Arithmetices principia, nova methodo exposita'
pubblicato nel 1889.
E dove appunto sono enunciati gli assiomi di Peano.
Ciao e grazie.
Giovanni.
*************
1) (in realtà sono due messaggi)
From: giofra giofra@freemail.it
Newsgroups: it.scienza.matematica
Sent: Monday, August 19, 2002 10:59 PM
e Tuesday, August 20, 2002 9:28 AM
Subject: Re: Zero, Peano, e i suoi 5 postulati: qual'è la verità storica ?
> St Thommaso ha scritto:
> Dal libro:
>
> van Heijenoort (ed.)
> 'From Frege to Gödel -
> a spurce book in mathematical logic-'
> (1967) Harvard University Press,
> Cambridge
> G. Peano 'The priciples of arithmetic,
> presented with a new method'
> (trad. inglese del testo del 1889)
>
> Peano, a partire dai suoi assiomi,
> deriva alcuni teoremi, e definisce
> la sottrazione, la moltiplicazione,
> l'elevamento a potenza e la divisione.
>
> Dello 0 (zero) nessuna traccia, anche se
> vi è la prima definizione nel paragrafo
> della sottrazione.
>
> Entrando a poco a poco nella notazione
> di Peano si ha che:
> indichiamo con F una proposizione che
> è sempre falsa.
>
> Per la SOTTRAZIONE:
> 1) a,b E N ---> b-a=N
> per ogni x tale che x+a=b
> Qui bisogna che vada a controllare su
> un'altra versione del testo perché,
> intuitivamente e stando alla sua maniera
> di procedere, dovrebbe essere piuttosto
> 1') a,b E N ---> b-a E N
> per ogni x tale che x+a=b
> Il fatto è che pur intuendo ciò che Peano
> vuole dire, utilizza quella che dovrebbe
> essere una quantificazione un po' bislacca.
> Per di più il suo formalismo interpretato
> e quindi l'intrusione di interpretazioni
> insiemistiche, non aiuta di certo la lettura.
> 2) a,b E N ---> ((a minore b)=~((b-a)=F))
> 3) a,b E N ---> b>a = a minore b
>
> Per l'ADDIZIONE:
> a,b E N ---> a+(b+1)=(a+b)+1
> che va letto: se a e b sono dei numeri, e
> se ((a+b)+1) ha un significato, nel senso
> che (a+b) è un numero e che quindi ((a+b)+1)
> è un numero, (a+(b+1)) significa il numero
> che succede ad (a+b)
> quindi si ha:
> a E N ---> a+2=((a+1)+1)=(a+(1+1))
> etc.
>
> Quindi Peano stabilisce alcuni teoremi:
> 1) a,b E N ---> a+b E N
> 4) a,b,c E N ---> (a=b)=((a+c)=(b+c))
> 6) a E N ---> (1+a)=(a+1)
> 8) a,b E N ---> (a+b)=(b+a)
> 10) a,b,c E N --->
> ---> (((a=b)^(c=d)) --> ((a+c)=(a+d)))
In base a quanto da te
riportato, ciò che Peano sembra fare è semplicemente
IGNORARE DEL TUTTO LO 0 (ZERO),
lasciando capire che ciò che lui pensava nel
merito è che:
LO 0 (ZERO) NON E' AFFATTO INDISPENSABILE
NELLA COSTRUZIONE DI TUTTA L'ARITMETICA.
Non indispensabilità dello 0 (zero) nella
costruzione di tutta l'aritmetica che Peano
sembra sia riuscito a dimostrare, ma SOLO
SUL PIANO FORMALE, ed appunto nel suo libro del 1889:
'Arithmetices principia, nova methodo exposita'.
Ciò che Peano non ha fatto, e che io credo
di aver fatto, è far vedere che EFFETTIVAMENTE
SI PUO' DAR CORPO ad un'aritmetica senza 0 (zero).
Si vedano a tal fine i paragrafi:
Addizione fra numeri interi:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/uno.htm
Sottrazione fra numeri interi:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/due.htm
Moltiplicazione fra numeri interi:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/sette.htm
Divisione fra numeri interi e con quoziente intero:
http://digilander.libero.it/ultimus2001/otto.htm
Giovanni.
utenti in questo momento connessi alla rete di siti web di Giovanni Fraterno: