Gli appunti traggono origine dalla necessità dell’autore della pagina di riappropriarsi delle nozioni sulle CONICHE, per potere ripassare la teoria sulla “GEOMETRIA DELLE MASSE”, ove è trattata la polarità e antipolarità rispetto all’ellisse d’inerzia ecc….

Negli appunti, vi è prima un breve richiamo sulle proprietà delle “CURVE ALGEBRICHE”. Poi si studiano le proprietà affini e metriche delle CONICHE, con la determinazione dei parametri caratteristici: centro, assi, vertici, punti impropri, asintoti, fuochi, direttrici.
I parametri sono ricavati con metodi generali. Così, per esempio, i fuochi, reali e complessi, sono determinati dalle quattro intersezioni tra le rette isotrope, tangenti alla conica, condotte dai due punti ciclici J(0,1,i), J’(0,1,-i); le direttrici sono determinate come polari dei fuochi ecc…

Richiami delle curve algebriche piane – polinomio caratteristico - curve algebriche irriducibili – ordine di una curva algebrica – punti di intersezione con una retta – studio locale di una curva algebrica – punti semplici – espressione della retta tangente – punti multipli - curva algebrica in coordinate omogenee e retta tangente espressa con le derivate parziali – teorema di Bezout.
Coniche – espressione polinomia in coordinate non omogenee ed omogenee – coniche generali – coniche degeneri – matrice caratteristica – equazione della tangente alla conica - polarità definita in una conica – corrispondenza tra punto e polare rispetto ad una conica – punti coniugati rispetto ad una conica – reciprocità – coniugio e autoconiugio – costruzione della retta polare di un punto del piano – punti di intersezione di due coniche – fascio di coniche – fascio di coniche degeneri
 

Conseguenze dell’intersezione di una conica con la retta impropria – discriminante caratteristico – ellisse, iperbole, parabola – coniche degeneri – diametri e centro di una conica – diametri: polari di punti impropri – centro: intersezione di diametri – centro proprio al finito: ellisse iperbole (coniche a centro) – centro all’infinito, sulla retta impropria: parabola – diametri coniugati e loro costruzione – condizione di coniugio tra due diametri – diametri autoconiugati – asintoti – condizione di autoconiugio – Condizione di autoconiugio di un asintoto – determinazione asintoti, come polari dei punti impropri – equazioni canoniche delle coniche a centro: ellisse iperbole – tipi di coniche a centro con assi di riferimento due diametri coniugati – equazione canonica della parabola – diametri traversi e non traversi.

Assi della conica – vertici – assi delle coniche a centro – condizione dei parametri direttori degli assi – asse della parabola – richiami sugli elementi geometrici nel campo complesso – punti complessi: proprietà – rette complesse: proprietà – punti ciclici rette isotrope – fuochi delle coniche: ottenuti dalle quattro intersezioni tra le rette isotrope, tangenti alla conica, condotte dai due punti ciclici J(0,1,i), J’(0,1,-i) – coniche a centro – parabola – direttrici delle coniche: polari dei fuochi – eccentricità – proprietà delle coniche con fuoco e direttrici assegnati – tipo di conica dipende dal valore dell’eccentricità

Determinazione degli elementi dell’ellisse espressa in forma canonica: con a>b e a<b – centro: intersezione di due diametri, polari di I(0,1,0) e I’(0,0,1) – assi: diametri coniugati ortogonali – vertici – fuochi: intersezioni tra rette isotrope, tangenti alla conica, condotte dai due punti ciclici J(0,1,i), J’(0,1,-i) – due fuochi reali e due complessi coniugati – direttrici: polari dei fuochi – eccentricità – forma dell’ellisse e valori dei parametri caratteristici in base all’eccentricità: posizione dei fuochi e delle direttrici – ellisse come luogo geometrico – determinazione degli elementi dell’iperbole espressa in forma canonica: centro – assi – fuochi – direttrici – eccentricità – asintoti: polari dei punti impropri.

Iperbole come luogo geometrico – iperbole equilatera con gli assi cartesiani coincidenti con gli asintoti – rotazione degli assi - determinazione degli elementi: fuochi, vertici, assi, direttrici - Studio con procedimento generale dell’iperbole equilatera nella forma generica – determinazione con i metodi generali degli elementi: centro – assi – vertici – asintoti – fuochi - direttrici

Matrice caratteristica – punto improprio della parabola – centro della parabola - Asse della parabola – vertici della parabola – fuochi della parabola: intersezioni tra rette isotrope, tangenti alla conica, condotte dai due punti ciclici J(0,1,i), J’(0,1,-i) – direttrice della parabola – parabola come luogo geometrico – studio della parabola come funzione razionale intera di secondo grado: determinazione con i metodi generali di: centro, assi, vertici, fuoco reale finito, direttrice.
Esercizio: determinazione degli elementi caratteristici di una conica generica