L'imbrago messo su un manichino di legno deve sostenere una trazione
verso il basso di
15 KN per tre minuti senza deformazioni, e a seguito di un
trazionamento perpendicolare per tre minuti la fibbia della cintura non deve
scorrere per piu` di 25 mm.
Per quanto riguarda le prove sui
carichi di rottura,
il delta (a "D") in lega
si è aperto, trazionato sulla ghiera, anche con carichi
molto bassi: 400Kg.
La seguente tabella riporta i valori medi (approssimati)
delle prove di resistenza della Commissione Tecniche e Materiali del CNSAS.
Da queste prove risulta che, anche se quelle triangolari risultano piu`
resistenti, entrabe le maglie, di forma semicircolare e
triangolare, sono adeguate per chiudere l'imbrago, purche` di acciaio e
da 10 mm di diametro.
La seguente tabella (presa dal catalogo Petzl)
riporta la forza massima d'arresto (in kilogrammi) e
la distanza di scivolamento (in centimetri)
per caduta di una massa di 80 kilogrammi su una lunghezza di un metro di
corda.
Sono considerati i casi di fattore di caduta F=1 e F=2.
La forza di carico statico è la forza statica cui
inizia lo scivolamento dell'atrezzo.
E` misurata in kilogrammi.
Questa tabella (sempre copiata dal catalogo Petzl) riporta
la forza massima d'arresto
(in kilogrammi) e la distanza di scivolamento (in centimetri)
per caduta di una massa di 80 kilogrammi su una lunghezza
di un metro di corda per i bloccanti.
La caduta su una corda da 8 mm puó
corportare la rottura della corda.
La forza di carico statica è la forza statica cui inizia lo scivolamento
dell'atrezzo; è espresso in kilogrammi.
Il danno e` limitato alla calza della corda.
Il carrucolino puo` essere fatto con una o con due puleggie.
Nel primo caso (figura a sinistra) la carrucola e` fissata alla maniglia
e il pedale passa sulla carrucola ed e` collegato al delta.
Nel secondo caso (figura a destra) sul delta c'e` una seconda carrucola
ed il pedale risale alla maniglia cui viene fissato.
Nel primo caso la forza sul pedale e` 1/2 del peso, nel secondo 1/3.
Naturalmente l'efficacia della pedalata e` parimenti ridotta di 1/2 e
1/3 rispettivamente.
Infatti, tenendo in conto che la lunghezza del pedale e` costante, si
hanno le relazioni, rispettivamente,
x + 2 y = L
x + 3 y = L
Nel primo caso per
innalzare il corpo (il delta) di un centimetro (cioe` per diminuire
y di un centimetro), il piede deve scendere di un centimetro, e
la gamba (x) deve allungarsi di due centimetri.
Percio` il lavoro fatto dalla gamba e` 2 F=P.
Nel secondo caso il piede deve scendere di due centimetri e la gamba
allungarsi di tre, per cui il lavoro e` 3 F=P.
Un vantaggio del carrucolino e` che la "pedalata"
(v. Sez. 3.2)
non deve necessariamente
essere diretta verso il basso poiche` la forza e` trasmessa al delta
dalla puleggia attacata alla maniglia, percio` lo speleologo e` sollevato
verso l'alto, senza la necessita` di "tenersi" con le mani alla maniglia.
Uno svantaggio (oltre alla ridotta velocita`) e`
una maggior difficolta` sugli scivoli a causa del piede che spingendo
arreta e non puo` essere appoggiato alla parete.
Infine da ricordare l'usura del cavo del pedale dovuta allo scorrimento,
che richiede quindi frequenti controlli e ricambiarlo per tempo.
Il discensore, accoppiato con la corda, forma un sistema
convertitore di energia potenziale in calore.
Lo speleologo che scende da sopra alla base di un pozzo perde energia
potenziale, EP = M g H. Questa energia deve essere
convertita in altre forme. L'energia cinetica dello speleologo quando
arriva alla base del pozzo, Ek = (1/2) M v2,
deve essere piccola (altrimenti si fa male): la velocita` v deve
essere dell'ordine di una frazione di metro al secondo.
Supponendo uno speleologo di 80 Kg (M g = 785 N),
su un pozzo di 20 m, l'energia
potenziale risulta circa 15700 J. Se la velocita` e` di 0.5 m/sec,
(che e` un valore medio, ne` lento ne` veloce:
40 sec per scendere il pozzo da 20)
l'energia cinetica finale e` 10 J,
una frazione trascurabile della energia potenziale. Essenzialmente
questo e` il motivo per cui non si salta giu` dai pozzi !
Se lo speleologo scende con velocita` costante, v,
l'energia potenziale prodotta nell'unita` di tempo e`
dEP / dt = M g v
Questa energia deve essere dunque dissipata durante la discesa.
Una parte se ne va in calore a riscaldare il discensore, ed e` in parte
dispersa da questo nell'aria.
Il calore e` prodotto dall'attrito della corda sulle puleggie del
discensore.
Una altra parte viene dissipata per attriti interni alla corda, causati
dal reciproco scorrimento delle fibre une sulle altre.
Anche questa energia se ne va in calore, che scalda la corda.
Il riscaldamento e` comunque contenuto: come vedremo piu` sotto,
se anche tutta l'energia potenziale
servisse a riscaldare la corda si avrebbe un aumento di temperatura
di 22oC (per uno speleo di 80 Kg).
Se lo speleologo non scende a velocita` costante
l'energia non e` dissipata uniformemente, a causa delle frenate
e delle accelerazioni.
Inoltre le oscillazioni indotte nella corda a monte dissipano
ulteriormente energia all'interno della corda.
[FIXME: manca una analisi piu` dettagliata]
La forza di attrito sulla puleggia e`
Fa,pul = fD R (Pi/2 A) P(a)
dove P(a) e` la pressione della corda sulla puleggia,
R e` il raggio della puleggia (circa 18 mm), e
fD e` il coefficiente di attrito.
Il coefficiente di attrito tra corda e il metallo
vale 0.3 - 0.5 per una corda secca, e 0.3 - 0.4 se la corda e` bagnata:
la corda infatti scorre meglio quando e` bagnata
[FIXME: questi valori sono per una corda generica, sembra che vadano
bene anche il nylon: prendiamo fD=0.3 - 0.4 ].
Dato che la corda entra nella gola della puleggia bisogna moltiplicarlo
per un fattore correttivo: se la gola fosse ad angolo questo sarebbe
1/sen(a) dove a e` la semiapertura dell'angolo.
Per la gola circolare (la corda sibusce un leggero appiattimento
quando passa nella gola della puleggia e diviene a sezione leggermente
ellittica) si puo` prendere
2/Pi [FIXME: questo e` da verificare].
Tenuto conto che la superficie di appoggio trasversale e`
Pi/2 A, possiamo prendere il diametro A della corda
come sezione trasversale di contatto, e ignorare queste
correzioni.
L'energia dissipata per attrito sulla puleggia e` dunque
Ea,pul = fD R A
Int[ P(a) da ]
La pressione della corda sulla puleggia e` proporzionale alla
tensione T della corda. Questa
tensione decresce proprio a causa dell'attrito,
dT(a) / da = - Fa(a) = - f T(a)
Il coefficiente f tiene conto di tutte le perdite per attrito.
Quindi la tensione ha un andamento esponenziale in funzione dell'angolo
a di avvolgimento intorno alla puleggia,
T(a) = T(0) e-f a
Ne risulta che la tensione e` ridotta di un fattore e-f a
all'uscita dalla puleggia, avendo indicato con a l'angolo
di avvolgimento sulla puleggia (misurato in radianti: 200 gradi
corrispondono ad a=3.5).
La seguente tabella riporta valori
sperimentali di come viene distribuita la forza di frenaggio
per uno speleologo di 80 Kg (785 N).
Il coefficiente di attrito effettivo f risulta variabile
fra circa 0.33 (corda asciutta), e 0.54 (corda argillosa).
prima puleggia
seconda puleggia
rinvio e mano
corda asciutta
461 N
285 N
39 N
corda argillosa
690 N
94 N
1 N
Analizziamo in dettaglio cosa avviene all'interno della corda
quando passa nel discensore.
Quando le corda viene avvolta attorno alla puleggia le
fibre esterne tendono a scorrere indietro rispetto a quelle interne
(v. figura a sinistra). Le fibre scorrono in dietro da una parte sulla
puleggia inferiore e dall'altra su quella superiore.
Questo scorrimento delle fibre genera attriti interni alla corda.
[FIXME: Dal punto di vista delle forze e` la pressione fra puleggia
e corda che genera questo scorrimento].
L'andamento della pressione fra le fibre all'interno della corda
puo` essere ricavato dalla relazione fra le forze che agiscono su
un pezzetto di fibra a distanza r dal centro della puleggia,
spessore dr e lunghezza r da
(v. figura a destra).
La tensione nella corda sia distribuita in modo
uniforme fra le fibre [FIXME: quanto e` lo scostamento dalla
uniformita`].
Per approssimazione trascuriamo la dimensione
trasversale, per cui consideriamo solo la dipendenza della distribuzione
di pressione all'interno della corda dall'angolo a e dalla
distanza radiale r relativa al centro della puleggia.
La densita` di tensione e` quindi
T(a)/A . Qui A rappresenta
la dimensione della corda, cioe` il diametro. La forza
sulla faccia laterale di altezza dr e`
F(r,a) = T(a) dr/A.
Dal diagramma delle forze risulta
(r da) (dP/dr) dr = T(a)/A dr da
.
Percio`
P(r,a) = Pest + log( [R+A]/r ) T(a)/A
dove, nel nostro caso la pressione esterna Pest e` nulla,
perche` non c'e` nulla che comprime la corda (almeno nel discensore
simple).
Per l'energia dissipata per attrito sulla puleggia si considera
la pressione sulla puleggia,
P(R,a) = log(1+x) T(a)/A
avendo indicato x=A/R, pari a circa 0.52.
Sostituendo questa nella formula dell'attrito sulla puleggia otteniamo
dEa,pul / dt = fD
(To - T1)/f
log(1+x)/x v
Per calcolare l'energia dissipata per attrito interno alla corda
bisogna integrare sull'angolo di avvolgimento
la pressione moltiplicata per lo spostamento relativo
delle fibre a dr,
Ea,corda = fN Int[ a T(a) da ]
Int[ log([R+A]/r) dr/A
dEa,corda / dt =
fN/f
(To - T1(1+f a1))/f
( 1 - log(1+x)/x ) v
dove fN e` il coefficiente di attrito del
nylon su se stesso, e vale 0.65 [FIXME: questo e` da verificare.
una modifica cambia anche la figura sotto]
Il termine funzione di x risulta 0.19.
In conclusione abbiamo che la dissipazione di energia e` la somma dei
due contributi sulla puleggia e all'interno della corda.
Considerando l'insieme delle due puleggie (e il rinvio) la tensione finale
e` una frazione trascurabile di quella iniziale (eccetto che per pozzi
molto lunghi in cui il peso della corda sotto, circa 80 gr/m, comincia ad
avere un ruolo importante).
La forza sulla puleggia e` una frazione
0.81 fD/f
della differenza fra le tensioni a monte e quella a valle.
L'attrito sulle puleggie dissipa una frazione variabile fra
72 % (corda asciutta),
50 % (corda bagnata), e
40 % (corda argillosa)
dell'eneria potenziale.
Per l'attrito interno, si ha una frazione
0.19 fD/f2 della differenza fra la tensione
a monte (785 N) ed, essenzialmente, quella dopo la prima puleggia
moltiplicata per a f. Per f=0.56 questa differenza e`
565 N; per f=0.33 risulta 500 N.
Quindi la dissipazione per attriti interni varia dal
oltre 100 % (corda asciutta),
al 50 % (corde bagnate),
al 36 % (corda argillosa)
della tensione.
In conclusione per le corde asciutte la somma dei due attriti, sulle
puleggie ed interno, risulta superiore, per cui occorre spingere
la corda nel discensore per scendere.
Per le corde bagnate la somma
eguaglia la forza peso, e basta una leggera regolazione.
Per le corde argillose il frenaggio non e` sufficiente ed orrorre
ricorrere ad un freno supplementare.
Vediamo ora quanto si scalda il discensore.
La produzione di energia per attrito va ad aumentare la
temperatura del discensore
che ha una massa di circa m = 220 gr,
e una capacita` termica pari a circa C 200 J/oC.
Essendo piu` caldo dell'ambiente, il
discensore disperde calore nall'aria. Quindi l'equazione che regola
la temperatura del discensore e`
C dT/dt = E'a,pul - (1/R) ( T - To )
dove To e` la temperatura ambiente, e
R = 0.37 sec oC/J il coefficiente di conduzione
fra il discensore e l'aria (tenuto gia` conto della superficie del
discensore).
Risulta
T(t) = To + ( R E'a,pul )
( 1 - e- t / (R C) )
Da questa si vede che la temperatura a cui arriva il discensore cresce
linearmente con la velocita`, nel nostro esempio sarebbe 24oC
[FIXME: 0.81 * 0.20 * 785 * 0.5]
piu` alta di To.
Inoltre il tempo per raggiungere questa temperatura e` di poco piu`
di un minuto:
la costante di tempo C R vale 74 sec.
Su un pozzo da 20 m l'aumento teorico
di temperatura e` di circa (0.42 della temp finale) 10oC.
Una analisi analoga a quella del discensore puo` essere fatta per il
nodo mezzo barcaiolo.
La corda avvolge il moschettone per 270o, poi gira
attorno a se stessa per 180o, infine gira ancora intorno
al moschettone per 270o.
In questo caso i coefficienti diventano 0.55 per il moschettone e
0.45 per la corda, percio` la dissipazione all'iinterno della corda
diventa preponderante. Il mezzo barcaiolo risulta
molto efficace con ogni tipo di corda: la somma delle frazioni degli
attriti e` in genere superiore a uno, per cui si riesce sempre a regolare
la discesa.
La corda non si scalda tanto. Se tutta l'energia (785 J/m) finisse a scaldare
la corda (pesante 70 gr/m), avremmo 11 J/gr, che danno un innalzamento di
temperatura di 22.5oC.
[FIXME:
Infine quando lo speleologo scende sui bloccanti ...
]
Il carrucolino puo` essere fatto con una o con due puleggie.
Nel primo caso (figura a sinistra) la carrucola e` fissata alla maniglia
e il pedale passa sulla carrucola ed e` collegato al delta.
Nel secondo caso (figura a destra) sul delta c'e` una seconda carrucola
ed il pedale risale alla maniglia cui viene fissato.
Nel primo caso la forza sul pedale e` 1/2 del peso, nel secondo 1/3.
Naturalmente l'efficacia della pedalata e` parimenti ridotta di 1/2 e
1/3 rispettivamente.
Analizziamo in dettaglio cosa avviene all'interno della corda
quando passa nel discensore.
Quando le corda viene avvolta attorno alla puleggia le
fibre esterne tendono a scorrere indietro rispetto a quelle interne
(v. figura a sinistra). Le fibre scorrono in dietro da una parte sulla
puleggia inferiore e dall'altra su quella superiore.
Questo scorrimento delle fibre genera attriti interni alla corda.
[FIXME: Dal punto di vista delle forze e` la pressione fra puleggia
e corda che genera questo scorrimento].
La forza sulla puleggia e` una frazione
0.81 fD/f
della differenza fra le tensioni a monte e quella a valle.
L'attrito sulle puleggie dissipa una frazione variabile fra
72 % (corda asciutta),
50 % (corda bagnata), e
40 % (corda argillosa)
dell'eneria potenziale.