La teoria degli insiemi

Il fondatore della teoria degli insiemi, cioè il primo matematico che ne fece uno studio sistematico, fu Georg Cantor, che in particolare si occupò degli insiemi infiniti.

Nella ricerca matematica di tutto l'Ottocento già emergeva l'esigenza di descrivere le proprietà che distinguevano i vari insiemi numerici, dall'insieme N dei numeri interi positivi a quello dei numeri irrazionali e dei numeri reali R; nel 1872, quasi contemporaneamente, diversi studiosi tra cui lo stesso Cantor e Dedekind proposero tre definizioni diverse ma equivalenti di numero reale.

Tra i problemi sorti dallo studio di questi insiemi si pone quello della loro numerosità :

Sono "di più" i numeri interi positivi o i numeri pari?

Sono "di più" i numeri interi positivi o i quadrati perfetti?

Sono "di più" i numeri interi positivi o le frazioni?

Sono "di più" i numeri interi positivi o i numeri reali?

Le risposte a queste domande avevano portato, già dai tempi di Galilei, a risultati apparentemente in contrasto con l'intuizione comune, detti paradossi.

I risultati della ricerca di Cantor diedero una risposta rigorosa a questi problemi. Esponiamo di seguito i risultati più interessanti:

1. Se A è un insieme finito o infinito e P(A) indica l'insieme delle parti di A, cioè l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, allora P(A) è "più numeroso" di A (in termini rigorosi si dice che la cardinalità di P(A) è maggiore della cardinalità di A).
2. L'insieme delle parti di un insieme numerabile (cioè numeroso come l'insieme N) ha la "potenza del continuo" (cioè è numeroso come l'insieme R)

I diversi livelli di numerosità degli insiemi infiniti possono essere trattati come se fossero nuovi numeri che Cantor definisce numeri cardinali e che rappresenta con la prima lettera dell'alfabeto ebraico "aleph". Quindi risulta che

Aleph₀ è il livello di numerosità, cioè il numero cardinale, degli insiemi infiniti numerabili come N

Aleph₁ è il livello di numerosità, cioè il numero cardinale, degli insiemi infiniti continui come R e P(N)

Aleph₂ è il numero cardinale di P(P(N)), e così via.

Una questione rimasta a lungo aperta è la seguente: esistono insiemi di cardinalità intermedia tra due aleph? Cantor pensa di no, ma non riesce a dimostrare questa sua congettura, che definisce ipotesi del continuo.

La risposta a tale quesito è stata data nel 1963 da Cohen che riuscì a dimostrare che è possibile costruire una nuova teoria degli insiemi infiniti negando la validità dell'ipotesi del continuo.

Si possono così costruire diverse "aritmetiche dell'infinito", ciascuna coerente, nelle quali l'ipotesi del continuo può essere vera o falsa.

Nel XX secolo esistono quindi più aritmetiche, come del resto esistono più geometrie: quella di Euclide che si fonda sulla verità del postulato delle parallele e due altre geometrie, dette geometrie non euclidee, che si basano sulle negazioni di questo postulato.