L’insieme R dei numeri reali non è numerabile

Per dimostrarlo, procediamo per assurdo considerando il sottoinsieme R’ di R costituito dai numeri compresi tra 0 e 1 e supponendo che esso sia numerabile.

Sia perciò r₁, r₂, r₃, … un’enumerazione degli elementi di R’; rappresentiamo i numeri di R’ in forma decimale:

r1= 0,a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄….

r2= 0,a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄….

r3= 0,a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄….

Costruiamo un numero s= 0,b₁b₂b₃… in questo modo: b₁ =a₁₁, b₂ =a₂₂, b₃ =a₃₃ e così via; questo numero è diverso da tutti i numeri di R’ che sono stati enumerati.

Questa è un'assurdità: data un’enumerazione di elementi di R’, si può costruire un numero s che "sfugge" a tale enumerazione.

Dunque R’ non è numerabile e quindi a maggior ragione, l’insieme R, di cui R’ è un sottoinsieme, non è numerabile.