Distribuzione normale

La distribuzione normale o gaussiana è la variabile aleatoria continua

  che assume qualunque valore reale .

 La funzione di densità della distribuzione normale  è

 per ogni x reale ,e dove i parametri m e s sono rispettivamente il valor medio  e la deviazione standard.

Tale funzione risulta :

Le caratteristiche salienti  della distribuzione normale sono :

·         è definita in tutto l'asse reale;

·         è sempre positiva;

·         è crescente per x < , decrescente per x >  e assume un massimo per x = ;

·         ha per asintoto orizzontale l’asse delle ascisse;

·         il grafico della funzione è simmetrico rispetto alla retta

     x = ;

·         possiede due flessi a tangente obliqua rispettivamente

      nei punti  -  e  + .

• il valore medio risulta anche valore modale ,ossia il valore

     al quale corrisponde la massima densità di probabilità , 

     e corrisponde anche alla mediana , in quanto è il valore

     centrale della distribuzione.

 Osservazioni

Per uno stesso valore di m, e

 al variare  dei valori di s,  la

 curva che rappresenta la distribuzione normale risulta  appiattita o

 allungata.

 Per uno stesso valore di s, e al variare  dei valori di

 m , si hanno curve normali traslate rispetto

 all’asse delle ascisse

La probabilità che una variabile casuale continua X assuma un valore compreso  tra x₁ e x₂ è l’area sottesa

 alla curva normale, ossia l'integrale definito della funzione densità.

 Relazione tra probabilità, valor medio, deviazione standard

P(m-s≤X≤m+s)≈0.68

P(m-2s≤X≤m+2s)≈0.95

P(m-3s≤X≤m+3s)≈0.99

Esempio con Excel