Puo' succedere di aver fatto un rilievo, e di non aver gli strumenti per stenderlo graficamente (la carta millimetrata, il goniometro, la squadretta, etc.), eppure di voler saper quanta si e` scesi oppure quanto ci si è spostati in pianta. Con un po' d'esperienza si riesce a fare una stima grossolana dell'andamento della grotta solo guardando le misurazioni. Se peró si vuole una valutazione piu` precisa, occorre fare qualche conto numerico. Questi conti non sono difficili: traducono numericamente le operazioni che vangono effettuate graficamente durante la stesura del rilievo, e sono alla base di tutti i programmi per la stesura automatica dei rilievi. Si basano su semplici formule di trigonometria piana (spiegate più sotto). Questa sezione include, come riferimento, una tabella dei valori delle funzioni trigonometriche.
A partire dai dati di Distanza (bindella),
e Inclinazione (clinometro),
si possono calcolare le componenti Orizzontale
e Verticale della sezione utilizando
le formule:
Orizzontale = Distanza cos(Inclinazione) Verticale = Distanza sen(Inclinazione)
cos(- Angolo) = cos(Angolo) sen(- Angolo) = - sen(Angolo)
Con queste formule si trovano le coordinate in sezione dei punti
(caposaldi), ricorsivamente.
Per esempio se abbiamo misurato
PUNTI Bussola Distanza Inclinazione 1 - 2 64 13.00 +15 2 - 3 14 7.45 +30 3 - 4 121 19.60 - 5 4 - 5 - 12.20 +90
le distanze Orizzontale e Verticale fra i capisaldi
in sezione sono (espresse in metri)
PUNTI Orizzontale Verticale 1 - 2 12.56 3.36 2 - 3 6.45 3.72 3 - 4 19.13 - 1.67 4 - 5 0.00 12.20
Attenzione al segno: nell'esempio la misurazione 3-4 ha Inclinazione
negativa (percio` il caposaldo 4 si trova piu` in basso rispetto
al caposaldo 3), quindi la componente Verticale e` negativa.
La componente Orizzontale e` "sempre" positiva. (Perche`?).
Da notare che quando l'inclinazione e' 90 gradi l'Orizzontale
e` zero (nell'esempio la misurazione 4-5).
Questi numeri rappresentano la posizione, in sezione,
relativa dei capisaldi, due a due.
Con questi dati si puo` valutare le posizioni dei vari capisaldi
relativamente ad uno di essi, per esempio il primo, numero 1: per il 2
non occorre fare nulla; per il 3 basta sommare la sua posizione
relativa a 2 a quella di 2 rispetto a 1.
Per il 4 si procede analogamente, stando attenti al segno!
Ecco il risultato:
. Spostamento Spostamento PUNTI Orizzontale Verticale 1 - 2 12.56 3.36 2 - 3 19.01 7.08 3 - 4 38.14 5.41 4 - 5 38.14 17.61
Quindi complessivamente siamo saliti di 17.61 metri.
La componente Orizzontale non ci dice molto; tuttalpiu` serve per valutare quanto deve essere grande il foglio di carta millimetrata su cui disegneremo poi la sezione. Per sapere quanto ci siamo spostati in pianta, dobbiamo riprodurre numericamente le operazioni che si eseguono disegnando la pianta. A tale scopo usiamo la distanze Orizzontali e la Bussola.
Nord = Orizzontale cos(Bussola) Est = Orizzontale sen(Bussola)
cos( 90 + Angolo) = - sen(Angolo) cos(180 + Angolo) = - cos(Angolo) cos(270 + Angolo) = + sen(Angolo) sen( 90 + Angolo) = + cos(Angolo) sen(180 + Angolo) = - sen(Angolo) sen(270 + Angolo) = - cos(Angolo)
Dunque riprendiamo il nostro esempio e calcoliamo le distanze nelle
componenti Nord ed Est della pianta:
PUNTI Nord Est 1 - 2 5.51 11.29 2 - 3 6.26 1.56 3 - 4 - 9.85 16.40 4 - 5 0.00 0.00
Da notare che 3-4 ha una componente Nord negativa: la direzione 121-Nord indica che la galleria sta' andando verso sud-est! Ancora: 4-5 ha entrambe le componenti zero: infatti e` un pozzo, e non da` alcun spostamento in pianta.
Adesso valutiamo gli spostamenti relativamente al caposaldo 1:
. Spostamento Spostamento PUNTI Nord Est 1 - 2 5.51 11.29 2 - 3 11.77 12.85 3 - 4 1.89 29.25 4 - 5 1.89 29.25
Finalmente possiamo dire che ci siamo spostati di poco meno di due metri verso nord, ma di quasi trenta (29,25 per l'esattezza) verso est.
Ang Sen Cos Tan Ang Sen Cos Tan 0 0.00 1.00 0.00 45 0.71 0.71 1.00 1 0.02 1.00 0.02 46 0.72 0.69 1.04 2 0.03 1.00 0.03 47 0.73 0.68 1.07 3 0.05 1.00 0.05 48 0.74 0.67 1.11 4 0.07 1.00 0.07 49 0.75 0.66 1.15 5 0.09 1.00 0.09 50 0.77 0.64 1.19 6 0.10 0.99 0.11 51 0.78 0.63 1.23 7 0.12 0.99 0.12 52 0.79 0.62 1.28 8 0.14 0.99 0.14 53 0.80 0.60 1.33 9 0.16 0.99 0.16 54 0.81 0.59 1.38 10 0.17 0.98 0.18 55 0.82 0.57 1.43 11 0.19 0.98 0.19 56 0.83 0.56 1.48 12 0.21 0.98 0.21 57 0.84 0.54 1.54 13 0.22 0.97 0.23 58 0.85 0.53 1.60 14 0.24 0.97 0.25 59 0.86 0.52 1.66 15 0.26 0.97 0.27 60 0.87 0.50 1.73 16 0.28 0.96 0.29 61 0.87 0.48 1.80 17 0.29 0.96 0.31 62 0.88 0.47 1.88 18 0.31 0.95 0.32 63 0.89 0.45 1.96 19 0.33 0.95 0.34 64 0.90 0.44 2.05 20 0.34 0.94 0.36 65 0.91 0.42 2.14 21 0.36 0.93 0.38 66 0.91 0.41 2.25 22 0.37 0.93 0.40 67 0.92 0.39 2.36 23 0.39 0.92 0.42 68 0.93 0.37 2.48 24 0.41 0.91 0.45 69 0.93 0.36 2.61 25 0.42 0.91 0.47 70 0.94 0.34 2.75 26 0.44 0.90 0.49 71 0.95 0.33 2.90 27 0.45 0.89 0.51 72 0.95 0.31 3.08 28 0.47 0.88 0.53 73 0.96 0.29 3.27 29 0.48 0.87 0.55 74 0.96 0.28 3.49 30 0.50 0.87 0.58 75 0.97 0.26 3.73 31 0.52 0.86 0.60 76 0.97 0.24 4.01 32 0.53 0.85 0.62 77 0.97 0.22 4.33 33 0.54 0.84 0.65 78 0.98 0.21 4.70 34 0.56 0.83 0.67 79 0.98 0.19 5.14 35 0.57 0.82 0.70 80 0.98 0.17 5.67 36 0.59 0.81 0.73 81 0.99 0.16 6.31 37 0.60 0.80 0.75 82 0.99 0.14 7.12 38 0.62 0.79 0.78 83 0.99 0.12 8.14 39 0.63 0.78 0.81 84 0.99 0.10 9.51 40 0.64 0.77 0.84 85 1.00 0.09 11.43 41 0.66 0.75 0.87 86 1.00 0.07 14.30 42 0.67 0.74 0.90 87 1.00 0.05 19.08 43 0.68 0.73 0.93 88 1.00 0.03 28.64 44 0.69 0.72 0.97 89 1.00 0.02 57.29 45 0.71 0.71 1.00 90 1.00 0.00 ---