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5.5 Calcoli topografici

Puo' succedere di aver fatto un rilievo, e di non aver gli strumenti per stenderlo graficamente (la carta millimetrata, il goniometro, la squadretta, etc.), eppure di voler saper quanta si e` scesi oppure quanto ci si è spostati in pianta. Con un po' d'esperienza si riesce a fare una stima grossolana dell'andamento della grotta solo guardando le misurazioni. Se peró si vuole una valutazione piu` precisa, occorre fare qualche conto numerico. Questi conti non sono difficili: traducono numericamente le operazioni che vangono effettuate graficamente durante la stesura del rilievo, e sono alla base di tutti i programmi per la stesura automatica dei rilievi. Si basano su semplici formule di trigonometria piana (spiegate più sotto). Questa sezione include, come riferimento, una tabella dei valori delle funzioni trigonometriche.

A partire dai dati di Distanza (bindella), e Inclinazione (clinometro), si possono calcolare le componenti Orizzontale e Verticale della sezione utilizando le formule:
Verticale - Orizzontale

Orizzontale = Distanza cos(Inclinazione)
Verticale  = Distanza sen(Inclinazione)

"cos" (coseno) e "sen" (seno) sono due funzioni trigonometriche i cui valori, per angoli compresi fra 0 e 90 gradi, sono riportati nella tabella alla fine della sezione.
E se una inclinazione e` negativa? Dovete ricordarvi che
cos(- Angolo) = cos(Angolo)
sen(- Angolo) = - sen(Angolo)

Con queste formule si trovano le coordinate in sezione dei punti (caposaldi), ricorsivamente. Per esempio se abbiamo misurato


PUNTI  Bussola  Distanza  Inclinazione
1 - 2      64      13.00           +15
2 - 3      14       7.45           +30
3 - 4     121      19.60           - 5
4 - 5       -      12.20           +90

le distanze Orizzontale e Verticale fra i capisaldi in sezione sono (espresse in metri)


PUNTI   Orizzontale  Verticale
1 - 2         12.56       3.36
2 - 3          6.45       3.72
3 - 4         19.13     - 1.67
4 - 5          0.00      12.20

Attenzione al segno: nell'esempio la misurazione 3-4 ha Inclinazione negativa (percio` il caposaldo 4 si trova piu` in basso rispetto al caposaldo 3), quindi la componente Verticale e` negativa. La componente Orizzontale e` "sempre" positiva. (Perche`?).
Da notare che quando l'inclinazione e' 90 gradi l'Orizzontale e` zero (nell'esempio la misurazione 4-5).

Questi numeri rappresentano la posizione, in sezione, relativa dei capisaldi, due a due. Con questi dati si puo` valutare le posizioni dei vari capisaldi relativamente ad uno di essi, per esempio il primo, numero 1: per il 2 non occorre fare nulla; per il 3 basta sommare la sua posizione relativa a 2 a quella di 2 rispetto a 1. Per il 4 si procede analogamente, stando attenti al segno! Ecco il risultato:


.       Spostamento  Spostamento
PUNTI   Orizzontale    Verticale
1 - 2         12.56         3.36
2 - 3         19.01         7.08
3 - 4         38.14         5.41
4 - 5         38.14        17.61

Quindi complessivamente siamo saliti di 17.61 metri.

La componente Orizzontale non ci dice molto; tuttalpiu` serve per valutare quanto deve essere grande il foglio di carta millimetrata su cui disegneremo poi la sezione. Per sapere quanto ci siamo spostati in pianta, dobbiamo riprodurre numericamente le operazioni che si eseguono disegnando la pianta. A tale scopo usiamo la distanze Orizzontali e la Bussola.

Nord - Est

Nord = Orizzontale cos(Bussola)
Est = Orizzontale sen(Bussola)

"cos" e "sen" sono le stesse funzioni trigonometriche di prima. Peró ora c'e` un'altra complicazione: le misure della bussola vanno da 0 a 360 gradi, e nelle tabelle le funzioni sono elencate solo per angoli fra 0 e 90 gradi. Il motivo di cio` e` dovuto alle seguenti relazioni (che permettono di trovare i valori delle funzioni per tutti i gradi):
cos( 90 + Angolo) = - sen(Angolo)
cos(180 + Angolo) = - cos(Angolo)
cos(270 + Angolo) = + sen(Angolo)
sen( 90 + Angolo) = + cos(Angolo)
sen(180 + Angolo) = - sen(Angolo)
sen(270 + Angolo) = - cos(Angolo)

(se non fosse per i segni sarebbero facili da ricordare).

Dunque riprendiamo il nostro esempio e calcoliamo le distanze nelle componenti Nord ed Est della pianta:


PUNTI     Nord      Est
1 - 2     5.51    11.29
2 - 3     6.26     1.56
3 - 4   - 9.85    16.40
4 - 5     0.00     0.00

Da notare che 3-4 ha una componente Nord negativa: la direzione 121-Nord indica che la galleria sta' andando verso sud-est! Ancora: 4-5 ha entrambe le componenti zero: infatti e` un pozzo, e non da` alcun spostamento in pianta.

Adesso valutiamo gli spostamenti relativamente al caposaldo 1:



.       Spostamento  Spostamento
PUNTI          Nord          Est
1 - 2          5.51        11.29
2 - 3         11.77        12.85
3 - 4          1.89        29.25
4 - 5          1.89        29.25

Finalmente possiamo dire che ci siamo spostati di poco meno di due metri verso nord, ma di quasi trenta (29,25 per l'esattezza) verso est.


Tabella dei valori delle funzioni trigonometriche.
 Ang  Sen    Cos    Tan         Ang  Sen    Cos    Tan
  0   0.00   1.00   0.00        45   0.71   0.71   1.00
  1   0.02   1.00   0.02        46   0.72   0.69   1.04
  2   0.03   1.00   0.03        47   0.73   0.68   1.07
  3   0.05   1.00   0.05        48   0.74   0.67   1.11
  4   0.07   1.00   0.07        49   0.75   0.66   1.15
  5   0.09   1.00   0.09        50   0.77   0.64   1.19
  6   0.10   0.99   0.11        51   0.78   0.63   1.23
  7   0.12   0.99   0.12        52   0.79   0.62   1.28
  8   0.14   0.99   0.14        53   0.80   0.60   1.33
  9   0.16   0.99   0.16        54   0.81   0.59   1.38
 10   0.17   0.98   0.18        55   0.82   0.57   1.43
 11   0.19   0.98   0.19        56   0.83   0.56   1.48
 12   0.21   0.98   0.21        57   0.84   0.54   1.54
 13   0.22   0.97   0.23        58   0.85   0.53   1.60
 14   0.24   0.97   0.25        59   0.86   0.52   1.66
 15   0.26   0.97   0.27        60   0.87   0.50   1.73
 16   0.28   0.96   0.29        61   0.87   0.48   1.80
 17   0.29   0.96   0.31        62   0.88   0.47   1.88
 18   0.31   0.95   0.32        63   0.89   0.45   1.96
 19   0.33   0.95   0.34        64   0.90   0.44   2.05
 20   0.34   0.94   0.36        65   0.91   0.42   2.14
 21   0.36   0.93   0.38        66   0.91   0.41   2.25
 22   0.37   0.93   0.40        67   0.92   0.39   2.36
 23   0.39   0.92   0.42        68   0.93   0.37   2.48
 24   0.41   0.91   0.45        69   0.93   0.36   2.61
 25   0.42   0.91   0.47        70   0.94   0.34   2.75
 26   0.44   0.90   0.49        71   0.95   0.33   2.90
 27   0.45   0.89   0.51        72   0.95   0.31   3.08
 28   0.47   0.88   0.53        73   0.96   0.29   3.27
 29   0.48   0.87   0.55        74   0.96   0.28   3.49
 30   0.50   0.87   0.58        75   0.97   0.26   3.73
 31   0.52   0.86   0.60        76   0.97   0.24   4.01
 32   0.53   0.85   0.62        77   0.97   0.22   4.33
 33   0.54   0.84   0.65        78   0.98   0.21   4.70
 34   0.56   0.83   0.67        79   0.98   0.19   5.14
 35   0.57   0.82   0.70        80   0.98   0.17   5.67
 36   0.59   0.81   0.73        81   0.99   0.16   6.31
 37   0.60   0.80   0.75        82   0.99   0.14   7.12
 38   0.62   0.79   0.78        83   0.99   0.12   8.14
 39   0.63   0.78   0.81        84   0.99   0.10   9.51
 40   0.64   0.77   0.84        85   1.00   0.09  11.43
 41   0.66   0.75   0.87        86   1.00   0.07  14.30
 42   0.67   0.74   0.90        87   1.00   0.05  19.08
 43   0.68   0.73   0.93        88   1.00   0.03  28.64
 44   0.69   0.72   0.97        89   1.00   0.02  57.29
 45   0.71   0.71   1.00        90   1.00   0.00   ---



http://geocities.com/marco_corvi/caving/m_index.htm
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