In generale la caduta non e` rettilinea, perche` non si cade proprio
sotto (o sopra) l'ancoraggio.
Percio` si ha una caduta libera fino a che la corda non entra in tensione.
Dopodiche` si descrive un arco.
W.K.Storage, J.H.Ganter, "Ropes, loads, and energy",
NSS News, n. 48 (1990) p. 316-319
http://nerve-net.zocalo.com/jg/c/pubs/Rlenergy/
V. Castellani, "Sforzi e resistenza delle corde",
Guida Didattica N. 2 (1977) Speleo Club Chieti
Supponiamo che uno spelelologo cada su una corda per una lunghezza H.
Abbiamo visto
(Sez. 3.4) che la corda si allunga di A
perche` e` elastica e viene tirata dallo spelelologo in caduta.
Il lavoro immagazzinato nella corda non e` dunque la sola
caduta su una lunghezza H, ma su una lunghezza H+A.
Questo cambia leggermente la formula, che risulta, nel caso di caduta
rettilinea (dalla ugualianza fra l'energia della caduta e quella nella
tensione della corda),
In questa appendice cerchiamo di descrivere le
cadute in termini fisici, al fine di fornire gli elementi di base
per una comprensione dei rischi che incorrono.
La forza d'arresto cresce con P (come la radice quadrata di P per piccoli valori, che e` il caso dello speleologo che cade). Diminuisce al crescere della elasticita` X (ricordo che dL = P L X), ed aumenta al crescere del fattore di caduta, Fc= H/L. Nel caso di P < 2 Fc/X, cioe` nel caso dei "voli" per noi speleologi, si puo` approssimare Fmax = sqrt( 2 Fc P / X ).
In generale la caduta non e` rettilinea, perche` non si cade proprio
sotto (o sopra) l'ancoraggio.
Percio` si ha una caduta libera fino a che la corda non entra in tensione.
Dopodiche` si descrive un arco.
dove F(r)=(r-L)/(LX) e` la tensione nella corda.
Le equazioni dinamiche possono essere facilmente impostate
con condizioni iniziali r(0)=L, a(0)=ao=arccos(D/L), v(0)=vo = sqrt(2 g H).
[FIXME COME INTEGRARE QUESTE EQUAZIONI ???]
Conviene stimare l'energia assorbita dalla corda come somma di due termini:
energia cinetica radiale (che tende direttamente la corda)
e quella tangenziale (che produce durante la rotazione una accelerazione
centrifuga la quale va a tendere la corda).
Quando la corda entra in tensione si ha
dove vo = sqrt( 2 g H ). Nel seguito della caduta (lungo l'arco) l'energia potenziale viene perlopiu` convertita in moto tangenziale, per cui quando si arriva nel punto piu` basso l'energia tangenziale e` diventata
A questa corrisponde una forza centrifuga (approssimativamente)
Il fattore di caduta e`
La forza massima e` dunque stimabile come
Questo risulatto e` riportato nella figura a destra, rapportato alla forza massima per caduta verticale (quando sin(ao)=1) nel caso 2 P X=100 (che e` un poco eccessivo), e a diversi fattori di caduta. Come si vede la forza massima in caso di caduta fuori dal punto di ancoraggio e` sempre inferiore al caso verticale (anche se induce una oscillazione che puo` essere pericolosa per altri versi !).
In pratica le corde da speleologia, hanno elasticita` strutturali
(dovute al fatto che sono costruite con un'anima a trefoli intrecciati,
ed un acalza che li contiene) oltre che ad una elasticita` delle fibre
(di nylon).
Percio` la relazione fra l'allungamento e la forza non e` lineare:
nel primo tratto intervengono sia l'elasticita` strutturale che
quella delle fibre, percio` la corda e` "molto" elastica.
Quando la struttura ha esaurito la sua elasticita`, resta solo
quella delle fibre, fino a che non inizia la regione di deformazioni
irreversibili (plasticita`) che preclude alla rottura della corda.
In questo discorso non abbiamo considerato l'energia assorbita la altri elementi, come i nodi, l'imbrago e i movimenti del corpo dello speleologo. In particolare la forza massima di arresto risulta inferiore di circa il 30 % al valore teorico.
Composizione di piu` elementi
In generale un ancoraggio non e` fatto dalla sola corda, ma da tanti elementi (piastrina, bullone, moschettone, nodo, corda, atrezzi, ...) ognuno con la sua elasticita`, e tutti concorrono a dissipare l'energia di una caduta. Occorre stimare l'elasticita` di tutto l'insieme al fine di valutare la forza d'arresto, e la forza massima che agisce su ciascun elemento, per giudicare la tenuta dell'ancoraggio.
Partiamo da due semplici casi:
Percio` X e` determinato dagli elementi piu` elastici e piu` lunghi (solitamente la corda). La forza d'arresto e` uguale per tutti gli elementi: Fmax = sqrt( 2 Fc P / X ).
Nel secondo caso risulta
Percio` l'elasticita` e` inferiore a quella di ogni singolo elemento. La disposizione in parallelo accresce la rigidita` del sistema. Conseguentemente la forza d'arresto (dell'intero sistema) e` superiore rispetto a quella che si avrebbe con un singolo elemento. Tuttavia ogni singolo elemento deve sostenere una forza massima inferiore. Dunque formare anelli di corda comporta un aumento del carico di rottura perhe` la forza massima sul singolo giro di corda e` una frazione della forza di arresto.
Quale esempio di sistemi di elementi elastici consideriamo due tipi di longe. La longe formata da un anello di corda chiuso con un nodo (inglese doppio), e la longe singola, con due nodi (ad otto) con gasse alle estremita`. Trascuriamo i moschettoni. La prima longe e` un parallelo di due elementi (uno dei quali e` una serie di due elementi per la presenza del nodo). L'elesticita` risulta (X e` l'elasticita` della corda, L la lunghezza della longe)
dove ln e` il rapporto fra lunghezza del nodo e quella della longe, e xn e` il rapporto fra l'elasticita` del nodo e quella della corda.
Nella longe singola abbiamo due gasse (elasticita` X/2), due nodi, e un pezzo di corda. L'elasticita` e` (i nodi hanno approssimativamente la stessa lunghezza)
Ad esempio, se prendiamo la longe corta, L= 18 cm, con gasse da 2 cm, e nodi da 6 cm, otteniamo che la longe doppia e` piu` elastica della longe semplice (oltre a poter assorbire maggior forza d'arresto perche` e` un sistema parallelo). Quindi (almeno dal punto di vista teorico) la longe doppia e` preferibile alle semplice.
Recupero di un carico
Nel recupero di un carico l'inerzia del peso provoca delle oscillazioni nella corda. Se il recupero avviene a veloita` v costante, il punto superiore della corda si muove con legge v t, e quello inferiore con la legge - L - x(t) + v t. L'accelerazione su questo risulta -x"(t), per cui, eguagliando la forza di inerzia alla tensione nella corda, si ha che esso esegue oscillazioni
con frequenza w = 1 / sqrt(M L X) e ampiezza xo = v/w. La forza massima sulla corda e` M g + v / (X L w). La tensione addizionale cresce al diminuire della lunghezza L e ad decrescere della elasticita` X (cioe per corde piu` statiche).
Se il tiro viene ripetuto ad intervalli regolari, si puo` avere un effetto di risonanza con oscillazioni sempre piu` grandi. Per esempio se L = 50 m, M = 80 Kg, X = 0.05 1/KN, risulta una frequenza di 2.2 Hz. Lo stesso effetto dovrebbe succedere con delle pedalate regolari.
Un analogo fenomeno avviene quando il sacco appeso sotto si mette ad oscillare
fastidiosamente. In questo caso la frequenza e` quella di oscillazione
del sacco, che forma un pendolo composto.
La frequenza dipende dalla lunghezza L del
cordino (circa 1 m), da g=9.8 m/sec2
e dalla lunghezza del sacco. In effetti anche dalla posizione del
centro di massa, e dal momento di inerzia, ma per semplicita` assumiamo
che sia come una sbarra rigida, di lunghezza 2 D,
per cui il centro di messa si trova
nel mezzo e il momento di inerzia vale I = M D2 / 3.
Questo sistema ha due frequenze fondamentali, che hanno forma
dove c e` una delle soluzioni della equazione di secondo grado c2 - 2 (1 - 4/3 D/L ) c - D/L . Una delle due frequenze e` inferiore a quella del pendolo semplice, sqrt(g/L), l'altra e` superiore.
Da questa analisi concludiamo che per evitare noiose oscillazioni del sacco occorre accorciare il cordino. In tal modo anche se aumenta il rapporto D/L e la frequenza bassa tende al valore del pendolo semplice, questa diventa abbastanza alta da evitare oscillazioni in risonanza.
[FIXME: questi due effetti devono essere discussi meglio. Stimarne la rilevanza].