La geometria non è vera: è comoda.
Henri Poincaré, La scienza e l'ipotesi, 1902

La matematica è la parte della fisica dove gli esperimenti costano poco.
Vladimir Igorevich Arnold, On Teaching Mathematics, 1997

Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è un posto perenne per la matematica brutta.
Godfrey Harold Hardy, Apologia di un matematico, 1940

Nella geometria, che è lo studio delle forme piane e solide, il pensiero matematico ha raggiunto l'eccellenza prima che in ogni altro campo.

A lungo insuperato, ancora oggi l'approccio euclideo alla geometria è metodo seguito in qualunque settore della matematica.

Nessuna forma di conoscenza davvero scientifica può fare a meno della matematica.

[...] forse stima che la filosofia sia un libro e una fantasia d'un uomo, come l'Iliade e l'Orlando furioso, libri ne' quali la meno importante cosa è che quello che vi è scritto sia vero. Signor Sarsi, la cosa non istà così. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. Galileo Galilei, Il Saggiatore

• Euclide: chi era costui? Lo spazio nel quale si svolge la nostra vita quotidiana è ancora oggi quello che duemilatrecento anni fa era per Euclide. Ad esempio il segmento rettilineo è la via meno lunga per andare da un suo estremo all'altro. Ad esempio la somma degli angoli interni a un triangolo è, esattamente, 180°.
• Gli "Elementi" e il V postulato: proprio indimostrabile? Postulati e assiomi sono le basi indimostrabili di una teoria, scelte con una certa arbitrarietà ma necessarie per evitare una catena senza fine di perché. Quel che importa sono le conseguenze.
• Lo so ma non lo dico Karl Friedrich Gauss fu il primo grande matematico convinto - fin da quando aveva quindici anni- dell'esistenza di una geometria logica in cui non fosse valido il postulato euclideo delle parallele.
  
• La gometria sulla sfera La sfera può fornire un esempio abbastanza naturale di spazio nel quale la somma degli angoli interni a un triangolo è maggiore di 180° e non esistono coppie di rette parallele.
• Sistemi formali In che senso gli assiomi debbono essere veri? perchè debbono essere verosimili? L'importante è che la teoria stia in piedi, cioè sia priva di conseguenze contraddittorie.
• Una geometria eccessiva Si possono concepire spazi nei quale la somma degli angoli interni a un triangolo è inferiore di 180°