Gli "Elementi" di Euclide è un'opera di 13 libri contenenti 465 teoremi, di geometria elementare ma anche di ciò che oggi chiameremmo algebra e teoria dei numeri: un manuale un'introduzione rigorosa e ordinata a tutta la matematica elementare del tempo e soprattutto della geometria elementare, valido ed efficace in particolare a livello didattico.
Il testo fu molto richiesto, così molte copie furono trascritte a mano e quindi già diverse da altre fedeli al libro. Probabilmente si aggiunsero ulteriori modifiche quando la distribuzione delle copie (copie di copie di copie...), riguardò tutta l'area del Mediterraneo, e così nel corso dei secoli, il testo subì molti cambiamenti.
Il libro I
Tra i Postulati, il V: Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l'incontrarsi dalla parte detta.
Lo stesso Euclide sembra considerarlo un teorema che però non era in grado di dimostrare. Infatti nelle prove dei teoremi utilizzò il quinto Postulato solo quando era strettamente necessario, come nel
Teorema 29: Se una retta interseca due rette parallele, con esse individua coppie di angoli alterni interni e coppie di angoli corrispondenti uguali tra loro e angoli interni da una stessa parte la cui somma è pari a due angoli retti.
I successivi tentativi di dimostrarlo portarono a sostituire il V postulato con altre affermazioni; John Playfair (1748-1819) elaborò quella che forse è la versione più conosciuta
Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esiste ed è unica una retta passante per il punto e parallela alla retta data
Gerolamo Saccheri (1667-1733) anziché sostituire il quinto postulato con un asserto simile, seguì un procedimento logico diverso dagli altri: sostituendolo con la sua negazione cercò di dimostrare almeno una conseguenza assurda. Così, inconsapevolmente, creò a livello elementare due nuove geometrie in seguito definite Geometrie non Euclidee proprio perchè in esse si negava la validità del quinto postulato.