Una sfera può diventare un esempio di geometria non euclidea. Come punto consideriamo coppie di punti diametralmente opposti
e come retta consideriamo una circonferenza massima, sezione della sfera con un piano passante per il suo centro
per ogni coppia di punti passa una e una sola retta.
Un triangolo ha angoli interni la cui somma è minore di 180°!
Gauss progettò, e forse anche realizzò, un esperimento fisico: partendo dalla considerazione che un raggio di luce può essere considerato, nel senso della Fisica, come una rappresentazione della retta, pensò di costruire un enorme "triangolo di luce" avente i vertici sulle cime di tre montagne e i lati sui tre raggi di luce che congiungevano tali vette. Lo scopo di Gauss era quello di misurare, anche in quel caso, la somma degli angoli interni di quel particolare e particolarmente "grande" triangolo, per vedere se tale misura era ancora uguale ad un angolo piatto; purtroppo però gli errori di misurazione gli impedirono di giungere a risultati significativi.
Si puo valutare che la somma degli angoli interni di un tale triangolo è π – Area/r2
Questa geometria si dice ellittica. Si noti che per un punto esterno a una retta non è possibile tracciare alcuna retta parallela a questa.