Un cerchio può diventare un esempio di geometria non euclidea. Considerando come punti solo quelli interni e come rette le circonferenze perpendicolari al bordo del piano
per ogni coppia di punti passa una e una sola retta.
Un triangolo ha angoli interni la cui somma è maggiore di 180°!
Si puo valutare che la somma degli angoli interni di un tale triangolo è
Si può constatare che per un punto esterno a una retta data passano infinite rette parallele a questa!
Nella produzione di Maurits Cornelis Escher, uno dei più famosi grafici ed illustratori di tutti i tempi, gli anni che vanno dal 1956 al 1970 individuano quello che possiamo definire: Periodo dell'Infinito. L'opera migliore di questo periodo è Limite del cerchio III (1959), che sembra sia il frutto dell'ammirazione dell'artista per una illustrazione di un libro di H.S.M. Coxeter.
Quest'immagine è una rappresentazione del modello di Poincarè.
Limite del cerchio III (1959)Poniamoci al centro del disegno e supponiamo di voler camminare fino al bordo di esso. Mentre camminiamo ci restringiamo sempre di più, proprio come accade ai pesci della figura. Per raggiungere il bordo quindi dovremmo percorrere una distanza che ci sembrerà infinita, ma essendo immersi in questo spazio non ci parrà subito ovvio che ci sia qualcosa di inusuale. Questa opera anticipa di qualche decennio la formulazione matematica del concetto di frattale