Anche Luigi Lagrange (1736-1813) intuì la possibilità di ricavare geometrie "diverse" da quella euclidea; solo che, vittima del pregiudizio comune, non osò comunicare i suoi risultati, perché avrebbe dovuto sostenere pubblicamente che ci sono più geometrie "vere", il che gli sembrava scandaloso.
Bisognava arrivare, grazie a David Hilbert più di mezzo secolo dopo Lobacewski (1793-1856) e Bolyai (1802-1860, alla consapevolezza che non esiste una geometria "vera", ma che ogni geometria è "vera" nella misura in cui è non contraddittoria.
Grundlagen der Geometrie
Se in passato un sistema matematico veniva visto come forma (la struttura logica) e contenuto (il significato che gli veniva attribuito), ora un sistema matematico è pura struttura logica, cui si può attribuire o meno anche più di un significato, a seconda dell'"interpretazione".
Ragionando sugli oggetti matematici a prescindere dai loro eventuali significati è meno facile lasciarsi ingannare da dimostrazioni fasulle: la nostra intuizione a volte si lascia convincere senza accorgersi delle eventuali illogicità.
Una interpretazione - o modello - è una sensata attribuzione di significato innanzitutto agli assiomi, così che gli assiomi divengono enunciati veri. Per conseguenza anche i teoremi diventano enunciati veri, e ciò che era privo di significato diviene conoscenza reale.
Nell'impostazione formalistica è quindi centrale la coerenza (non contraddittorietà) degli assiomi. Per dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico formale, è sufficiente esibirne un modello. In tale modello si potrebbero individuare enunciati veri non deducibili nel sistema formale