dati sul piano tre segmenti AB
, CD , EF
disegnare il luogo dei punti P
del piano per cui sia:
area(PAB)+area(PCD)=area(PEF)
Sperimentazione libera.
Il punto P di prova può muoversi
liberamente sul piano
Soluzione:
Innanzitutto cerchiamo almeno un punto del luogo. Per questo utilizziamo il
risultato del Problema 1 , e troviamo i punti del luogo per i
quali sia Area(PCD)=0 e quindi Area(PAB)=Area(PEF).
Si trovano due punti, G e H , prodotti mediante questi passi:
Con la stessa tecnica si possono trovare altri due punti del luogo, J e K, per i quali sia Area(PAB)=0 e quindi Area(PCD)=Area(PEF)
Conosciamo 4 punti del luogo, però ce ne saranno altri. Proviamo qualche congettura. Per esempio: 4 punti possono essere i vertici di un quadrilatero; sarà forse questo il luogo ? Proviamo. Il quadrilatero rosso della figura seguente è il potenziale luogo: il punto P può muoversi liberamente su uno dei lati per volta(per ora non riesco a farlo muovere sul quadrilatero intero). [si noti che in realtà il punto può muoversi anche sul prolungamento dei lati, e che tra le misure è stata aggiunta anche la differenza tra le aree di PAB e PCD perché succede un fatto curioso]
Qui sotto il punto P è libero sul piano per consentire di testare tutti i lati (di cui sono disegnati anche i prolungamenti) [si tenga presente che, non essendo più il punto vincolato, l'uguaglianza delle aree viene solo approssimata, in quanto il punto si può sistemare sopra una retta solo con l'approssimazione consentita dalla risoluzione dello schermo]
Sembra che la congettura abbia avuto successo ! Però invito il lettore a muovere un po' gli estremi dei segmenti nelle due figure precedenti, finché il quadrilatero rosso diventa concavo o intrecciato: per chi non riuscisse, qui sotto è pronto un esempio.
Come si vede, la parte segnata in rosso non è più valida (alcuni lati lo sono ancora), però basterebbe sostituire alcuni lati con le semirette che si diramano dai loro estremi. Se ne ricava che il luogo cercato è sempre un quadrilatero convesso [di diagonali JK e GH], a patto di ragionare sul piano proiettivo, considerando cioè la possibilità di unire due punti mediante due semirette collineari e di verso opposto che si raccordano all'infinito. Riferendosi alla figura precedente, il luogo corretto è quello rappresentato qui sotto (muovendo i vari elementi il luogo può non restare più valido).
E per sentirsi più coinvolto il visitatore può provare a immaginare quale sia il luogo nella prossima figura; per controllare la risposta può azionare il pulsante Risposta .
Considerazioni sulla soluzione.
Si è parlato in modo quasi casuale del piano proiettivo a proposito delle figure precedenti, come quello in cui le linee in qualche modo si toccano agli estremi e si possono considerare anche segmenti fatti di due semirette. Manipolando le figure, si notano strane coincidenze che rimandano ad elementi tipici della geometria proiettiva, come si vedrà nelle prossime animazioni.
Riprendendo la Fig. 3.5 e completandola con alcune linee, si nota che il quadrilatero ha una stretta relazione con le rette AB e CD, in quanto su di esse si trovano i suoi vertici, ma anche con la retta EF, in quanto .....
.... i prolungamenti dei lati del quadrilatero si incontrano in due punti
(M e N) della retta EF, la quale viene ad
essere in qualche modo la terza diagonale del quadrilatero
completo GJHKMN.
E quando si ha a che fare con i quadrilateri completi, nascono da soli i gruppi armonici di punti, come quello MRNS individuato dal
quadrilatero suddetto sulla retta EF.
Sembra tutto così "armonico", che viene da sospettare che anche la
costruzione base del Problema 1 abbia un po' di questa natura;
perciò riprendiamo quella figura per vedere se ha strane proprietà ... (la retta di
colore viola può essere spostata a piacere sul piano)
Infatti si constata che le 4 rette, le due date e le due del luogo, formano un gruppo armonico, indicato dall'uguaglianza dei due rapporti mostrati nella figura.
Naturalmente ci sarà una dimostrazione di questo fatto: qui
Chi vuole leggere alcune considerazioni sul gruppo armonico di rette può consultare questa pagina, che risulta propedeutica anche per le successive.
A questo punto sorgono altre domande, probabilmente seguite da risposte, illustrate con figure interattive, che andranno qui sotto, a completare o soltanto ad arricchire di tanto in tanto il quadro [naturalmente sarebbe bello aggiungere anche i pensieri degli occasionali visitatori].
Per ora solo qualche domanda:
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Qualcuno è in grado di rifare la costruzione di questo esercizio in modo che risulti il quadrilatero giusto comunque si scelgano i segmenti iniziali ? [sarebbe come dire: esiste in questi programmi di geometria dinamica una funzione di tipo se ... allora ... ?]
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Il fatto che il luogo
descritto nel Problema 1 crei un gruppo armonico significa che la sua proprietà
caratteristica è invariante per trasformazioni proiettive ? |
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Tale invarianza vale
anche per il quadrilatero del Problema 3 ? |
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Dato un gruppo
armonico di rette, come si possono costruire due segmenti su due di esse in modo che le
altre due formino il luogo suddetto ? |
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È possibile eseguire
questa costruzione inversa anche nel caso del quadrilatero ? [si tenga presente che
nell'articolo all'origine di questa pagina questo si fa per via algebrica, ma è più
intrigante la via sintetica]. |
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.......... |
continua
....
ultima variazione di questa pagina il 16/01/99
per contattare l'autore: prof. Giovanni Artico
dopo qualche sforzo ho trovato la soluzione di
questo, di cui qui sotto si può vedere qualcosa [si nota qualche incertezza, però mi
sembra che sia dovuta a difetti nel programma di disegno e non a difetti logici nella
costruzione, almeno ad una prima osservazione]. La tecnica usata è illustrata in