dato sul piano un quadrilatero convesso ABCD
costruire tre segmenti RS,
TU, VW, in modo che per
tutti e soli i punti P del quadrilatero valga l'uguaglianza
Area(PRS)+Area(PTU)=Area(PVW) [si intende aree di
triangoli].
Premessa.
Dal Problema 3 si sa che i tre segmenti
devono stare sulle 3 rette diagonali del quadrilatero completato prolungando i lati.
Di questo problema ho trovato due soluzioni, di cui la seconda è più elegante,
mentre la prima mostra interessanti coincidenze relative al quadrilatero.
Prima soluzione.
Per capire la logica di questa soluzione bisogna rifarsi all'articolo
all'origine di questo lavoro (sul numero di Nov-Dic 1998), in cui la soluzione al Problema
3 viene data in modo diverso da quello presentato qui.
In breve, risulta che le direzioni dei lati del quadrilatero si possono ricavare da
somme vettoriali dei 3 segmenti di partenza e dei loro opposti, come sinteticamente si
può osservare nella figura seguente.
Fig. 6.1
Osservare che le 4 rette rosse uscenti da O sono parallele ai lati
del quadrilatero (che è stato disegnato con la procedura del Problema 3). Si noti anche
che i quattro punti R,S,T,U si trovano ai vertici di un parallelogramma.
Il problema che vogliamo risolvere è quello inverso, di risalire dalle 4 rette rosse
ai 3 segmenti, dei quali si conoscono le direzioni ma non le lunghezze.
Come si vede dalla Fig. 6.1, bisogna individuare il parallelogramma
che ha un vertice su ognuna delle 4 rette e i lati paralleli alle diagonali del
quadrilatero.
Nella figura seguente si inizia la costruzione.
Fig. 6.2
Il punto O è scelto a caso sul piano, il punto T a caso su una delle rette; poi si costruisce la retta TS parallela alla diagonale HG; il punto S viene individuato sulla retta parallela al lato (JH) che nel quadrilatero incontra la diagonale HG nello stesso punto del lato (HK) parallelo alla retta su cui si trova T. Poi si costruiscono le rette SR e TU parallele alla diagonale JK, e si individuano i punti R e U seguendo le stesse associazioni viste prima. [nota: purtroppo in questa versione dell'applet non è possibile marcare con un nome le rette, per questo la spiegazione risulta un po' difficile]. Ciò che stupisce è che automaticamente risulta un parallelogramma: se avessimo preso per TS un'altra direzione non sarebbe successo, e quindi la cosa deve dipendere dal fatto che le direzioni coinvolte sono associate in un quadrilatero. La cosa mi è sembrata abbastanza simpatica per farne un problema per i lettori della rivista.
E ora viene la seconda sorpresa, da cui ho ricavato un secondo
problema.
Come si nota dalla Fig. 6.1, il terzo segmento cercato congiunge il punto O con il
centro del parallelogramma; anche noi possiamo realizzare questo collegamento, però nulla
ci garantisce che ne risulti un segmento parallelo alla retta LM (terza diagonale del
quadrilatero) come vorremmo. E invece succede proprio così. [per chiarire
meglio il mio senso di sorpresa dirò che nei primi tentativi sbagliavo le associazioni
tra le rette, per cui ottenevo ugualmente dei parallelogrammi, però quando andavo a
chiudere la costruzione l'ultimo segmento aveva la direzione sbagliata; chi vuole può
anche provare].
Fig. 6.3
Nella figura si dovrebbe apprezzare che OX è
parallelo a LM (ho messo i coefficienti angolari delle rette corrispondenti).
I segmenti che risolvono il nostro problema sono OX, XY e XV , che vanno trasportati
sulle rette diagonali del quadrilatero.
Nella costruzione siamo partiti dalle diagonali HG e JK, ma sarebbe interessante sapere se si può partire da un'altra coppia qualsiasi: la risposta è affermativa e si può apprezzare nella prossima figura [densa di linee, ma interpretabile con un po' di sforzo seguendo i colori ; ho tolto le lettere per non appesantire il disegno].
Fig. 6.4
Seconda soluzione.
Questa costruzione segue da vicino quelle dei due problemi
precedenti, facendo uso della macro SegmentoConiugato.
Uno dei segmenti può essere fissato a piacere su una diagonale, diciamo RS, degli altri due si può fissare un estremo sulle altre due
diagonali, diciamo T e V;
rimangono da trovare gli altri due estremi, U e W. La situazione di partenza è illustrata nella figura seguente,
in cui si può provare un aggiustamento manuale.
Fig. 6.5
Qui di seguito si trova la soluzione.
Fig. 6.6
La soluzione procede in questo modo:
Muovendo il punto P si può controllare che i segmenti trovati sono quelli cercati.
La soluzione mi sembra semplice ed elegante, per un problema che all'inizio mi sembrava molto complicato. Naturalmente inseguendo le complicazioni si può andare oltre, ponendo il problema per un pentagono [nell'articolo originale anche questo è stato risolto per via analitica], però serve tempo; se qualcuno ha pazienza, mandi le sue costruzioni.
ultima variazione di questa pagina il 17/01/99
per contattare l'autore: prof. Giovanni Artico