Il gruppo armonico di rette sembra una
stranezza, almeno a chi non l'ha frequentato a lungo e magari ne ha visto solo la
definizione tramite il birapporto, eppure si rischia di incontrarlo più spesso che non si
creda, come è accaduto nel Problema 1 e nei successivi.
La sua proprietà originale è quella di rimanere armonico anche dopo una
trasformazione proiettiva, però ne ha anche altre di cui alcune saranno mostrate qui di
seguito.
Ripensando alla costruzione usata nel Problema 1, trovo che il modo più immediato
per rappresentarselo sia questo:
Le due diagonali e le due rette che uniscono i punti medi dei lati opposti di un parallelogramma formano un gruppo armonico di rette, e viceversa, quattro rette possono rappresentare le direzioni dei lati e delle diagonali di un parallelogramma se e solo se formano un gruppo armonico. |
Nella figura seguente si può sperimentare questa curiosa proprietà del parallelogramma.
Fig. x2.1
Questo porta ad una semplice costruzione della quarta armonica dato un gruppo di tre rette, illustrata qui sotto:
Fig. x2.2
Dettagli della costruzione: i dati sono le rette a e b (nere) e la retta r (rossa); da costruire la retta s (rossa) che forma la quarta armonica o la coniugata armonica di r. Costruita una qualsiasi retta PQ parallela ad r , si trova il centro M del segmento PQ e si costruisce la retta OM che risolve il problema.
Che cosa c'è di armonioso in questo gruppo di rette ?
Muovendole un po' si nota che le due rette rosse dividono i due angoli formati dalle rette
nere in modo abbastanza simile; per esempio quando r si
avvicina a b, anche s si
avvicina, però sempre in modo proporzionato. Si potrebbe pensare che r ed s dividano i due angoli formati
dalle rette nere in parti proporzionali, ma non è così; in realtà la proporzione è tra
i seni degli angoli, come si dovrebbe vedere dalla figura seguente (però non si riesce
per un errore nell'apllet), in cui è comunque illustrata la proprietà fondamentale
esaminata (sotto altra forma) nel Problema 1 e così riassumibile:
In un gruppo armonico due rette armonicamente coniugate sono il luogo dei punti per i quali è costante il rapporto delle distanze dalle altre due rette . |
Fig. x2.3
Altre costruzioni della quarta armonica.
Tra le altre trovo molto semplice la seguente, basata sempre sul parallelogramma.
Fig. x2.4
Dettagli della costruzione: sono date le
rette a , b , r ; da costruire la retta s , coniugata di r. Disegno un punto P a caso su r , traccio per P le rette parallele ad a e b, che individuano i punti A e B; il
segmento AB individua la direzione coniugata di r ; non resta che disegnare la parallela
ad esso per il centro comune.
La retta di colore magenta è
stata aggiunta per mostrare che una retta del gruppo taglia a
metà tutti i segmenti paralleli alla sua coniugata aventi gli estremi sull'altra coppia
di rette. [abbiamo già usato questa proprietà per
costruire la quarta armonica]
Sfruttando le proprietà armoniche del parallelogramma si possono ideare altre costruzioni
analoghe.
I puristi della geometria proiettiva non gradiscono probabilmente le costruzioni precedenti, che fanno uso di rette parallele e punti medi, concetti poco proiettivi. C'è comunque una costruzione che va bene anche per loro [si trova sui libri]
Fig. x2.5
Dettagli della costruzione: si disegna una retta t a piacere, che incontra r nel punto G ; per G si disegna un'altra retta u a piacere; restano determinati su a e b i punti P, Q, R, S, che individuano le rette PS e QR, che si incontrano nel punto X ; la retta cercata è OX . Provare a muovere le rette t e u, per constatare che X si sposta, ma la retta risultante è ferma.
ultima variazione di questa pagina il 16/01/99
per contattare l'autore: prof. Giovanni Artico