date sul piano due rette
disegnare due segmenti AB
e CD in modo che per ogni punto P
su una qualsiasi delle due rette risulti Area(PAB)=Area(PCD).
Considerazioni preliminari.
Osserviamo che i due segmenti da trovare sono definiti a meno di un
fattore di scala arbitrario, per cui uno dei due (diciamo AB)
può essere scelto a piacere per quanto riguarda la lunghezza. Invece, per quanto si sa
dal Problema 1, la sua direzione dovrebbe essere tale che la retta che lo contiene passi
per il punto comune delle altre due. Se ne ricava quindi che: il segmento AB può essere scelto a piacere su una qualsiasi retta del fascio
individuato dalle due date.
Una volta scelto AB, il segmento CD si trova
su una retta ben definita dello stesso fascio, che è la coniugata
armonica di AB, per quanto è detto nella pagina
sul gruppo armonico di rette. Resta da trovare solo la
lunghezza di CD.
Nella figura seguente si può effettuare la ricerca per tentativi.
Fig. 4.1
Tutti gli elementi della figura si possono muovere. La retta CD si sposta quando si muovono le altre, perché è costruita come quarta armonica delle altre mediante uno dei procedimenti illustrati nella pagina apposita. Si noti che i rapporti delle aree sono uguali per P e Q e non variano quando essi si spostano sulle relative rette di appartenenza.
Soluzione del problema.
Ci sono varie soluzioni possibili del problema: per es. basterebbe notare che i due segmenti devono essere inversamente proporzionali alle distanze del punto P dalle rispettive rette di appartenenza. La costruzione fornita qui sotto è una tra quelle che mi sono sembrate più semplici.
Fig. 4.2
Infatti basta condurre per A e B le parallele
ad una delle rette date (nere) e trovare le intersezioni con la quarta armonica (rossa)
costruita in precedenza.
L'uguaglianza delle aree dei triangoli è facile da dimostrare tenendo presente che i
segmenti AC, BD sono divisi a metà dalla retta OP, appunto perché stiamo operando con un
gruppo armonico di rette.
La costruzione di due segmenti correlati su una coppia di rette coniugate armonicamente rispetto ad altre due si è rivelata utile anche per i problemi delle pagine successive, però la situazione di partenza è in genere leggermente diversa da quella prospettata qui sopra: in realtà sono date le due rette rosse, è dato il segmento AB, è data una delle rette nere (o un suo punto, che è lo stesso), e bisogna costruire CD. Il problema si potrebbe formulare così:
"Dati un segmento AB , un punto P e una retta r, trovare su questa retta un segmento CD tale che risulti Area(PAB)=Area(PCD) ".
Si sa che automaticamente la stessa uguaglianza delle aree vale anche
per tutti i punti della coppia di rette (di cui una passa per P) coniugate armonicamente
rispetto alla retta r e alla retta AB.
La costruzione di CD non si discosta di molto da quella vista in precedenza e viene
riportata qui sotto.
Fig. 4.3
Di questa costruzione (cui ho aggiunto una traslazione di CD lungo la
sua retta in modo che C cada in un punto prefissato) ho creato una macro, chiamata SegmentoConiugato (del segmento AB sulla retta r rispetto al
punto P), e l'ho usata nei problemi successivi.
Ricordo ancora che ci sono parecchie altre costruzioni diverse che danno lo stesso
risultato .
ultima variazione di questa pagina il 16/01/99
per contattare l'autore: prof. Giovanni Artico