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7.I Sforzi ed elasticita` (Stabilita` delle cavita`)

A.Eusebio, M.V.Pastorino, S.Pedemonte, "L'altra faccia della speleogenesi: criteri di indagine sui fattori meccanici di stabilita` delle cavita` sotterranee", Speleologia, n. 29 (1993) p. 78-81.

La stabilita` delle cavita` dipende da quattro fattori:

La resistenza viene espressa in Kgp/cm2 o in MPascal = 10 Kgp/cm2. Una altra unita` e` ton/m2 = 0.1 Kgp/cm2. Le rocce calcaree hanno valori di resistenza alla compressione dell'ordine di 900 Kgp/cm2 ed alla trazione di 50 Kgp/cm2. La resistenza agli sforzi di taglio e` 125 Kgp/cm2. [MdI] Questi sono valori medi e bisogna tener conto che c'e` molta variabilita`.

Lo stato degli sforzi nella roccia ha una componente verticale Pv, e una orizzontale Ph. La componente verticale cresce con la profondita`, H, proporzionalmente al peso specifico p della roccia (circa 2.5 Kg/l): Pv = p   H, oltre a dipendere anche dalla geomorfologia. Quella orizzontale e` determinata da spinte tettoniche (compressioni o distensioni) e dalla ridistribuzione degli sforzi. Il valore del rapporto fra le due componenti, k=Ph / Pv, indica l'isotropia o meno dello stato di sforzo. A basse profondita` (meno di 500 m) sperimentalmente k ha valori variabili fra circa 0.5 e 5.5. In profondita` si presume che con la ridistribuzione degli sforzi k tenda ad uno (condizioni idrostatiche). [FIXME: e` vero ?]

In condizioni isotrope (k=1), lo sforzo tangenziale supera la resistenza alla compressione a profondita` di circa due kilometri. A basse profondita` in condizioni distensive, le cavita` possono risultare instabili anche a poche centinaia di metri.

A basse profondita` (piccoli sforzi) predomina il comportamento elastico della roccia per cui la stabilita` della cavita` e` determinata dalla presenza di fratture e giunti. Ad elevate profondita` (grandi pressioni) diventa rilevante il comportamento plastico.


7.I.1 Teoria degli sforzi

Per descrivere la stabilita` delle cavita`, cioe` la stabilita` della roccia, bisogna ricorrere alla teoria degli sforzi nei mezzi continui. Questa e` una branca abbastanza complessa della fisica matematica. La ragione fisica risiede nel fatto che una forza applicata in una direzione su un mezzo continuo puo` indurre sforzi (forze interne al mezzo) anche in altre direzioni. Per descrivere il problema si ricorre al calcolo tensoriale. Vediamone gli aspetti generali.


Sforzi Sforzi

Il tensore degli sforzi descrive lo stato delle forze che agiscono all'interno del mezzo continuo. La componente sik descrive la forza nella direzione i applicata su una superficie perpendicolare alla direzione k nel punto in esame. Esso soddisfa due importanti relazioni. La relazione di Cauchy, che discende dalla legge di Newton applicata ai momenti torcenti delle forze, e che stabilisce che il tensore degli sforzi e` simmetrico,

sik = ski

e la legge di Newton per la forze di volume f,

fi = dk sik

Nel caso di un mezzo soggetto alla forza peso questa equazione diviene dk sik = -d g , dove d e` la densita`, e g la accelerazione di gravita`.

Il tensore degli sforzi deve soddisfare anche delle relazioni dovute alle forze F che agiscono sulla superficie del mezzo continuo, precisamente le condizioni al contorno (o ai limiti). Se n e` il vettore normale alla superficie del mezzo, si ha

sik nk = Fi

Da sole queste relazioni non bastano a descrivere lo stato del mezzo continuo. Ci vuole anche qualche relazione che lega gli sforzi alle deformazioni, ed e` caratteristica del tipo di mezzo in esame (mezzo elastico, mezzo plastico, etc.). Prima pero` di completare le equazioni e risolvere lo stato di semplici mezzi continui per arrivare ad una descrizione della stabilita` delle cavita`, scriviamo queste relazioni esplicitamente in 2 dimensioni. Il problema diviene bidimensionale in due casi: quando gli sforzi sono piani, oppure quando le deformazioni sono piane. Qui analizziamo il problema piano, cioe` ignoriamo completamente la terza direzione. Questa e` una semplificazione e non corrisponde ad alcuna delle due citate situazioni.

In due dimensioni (x, e y) l'equazione fondamentale e`

dx sxx + dy sxy = fx
dx sxy + dy syy = fy

In assenza di forze di volume (equazione omogenea) la soluzione piu` generale e` espressa in termini delle derivate di una funzione, X, detta funzione degli sforzi:

sxx = dy2 X
sxy = - dx dy X
syy = dx2 X

Dato che saremo interessati a soluzioni a simmetria cilindrica (cioe` le gallerie) scriviamo queste relazioni usando le coordinate polari

r = (x2 + y2)1/2     x = r cos( t )
t = arctan( y/x )     y = r sin( t )

La trasformazione delle derivate (detta legge di trasformazione covariante) risulta

dx = cos(t) dr - sin(t)/r dt     dr = cos(t) dx + sin(t) dy
dy = sin(t) dr + cos(t)/r dt     dt = - r sin(t) dx + r cos(t) dy

Le componenti del tensore degli sforzi si esprimono in termini di quelle nel sistema di riferimento cartesiano

srr = cos(t)2 sxx + 2 sin(t) cos(t) sxy + sin(t)2 syy
srt = r ( - sin(t) cos(t) sxx - (sin(t)2 - cos(t)2) sxy + sin(t) cos(t) syy )
stt = r2 ( sin(t)2 sxx - 2 sin(t) cos(t) sxy + cos(t)2 syy )

L'equazione di equilibrio diventa

dr ( r srr ) + r-2 dt( r srt ) - r-2 ( r stt ) = fr = r ( cos(t) fx + sin(t) fy )
dr ( r srt ) + r-2 dt( r stt ) = ft = r2 ( - sin(t) fx + cos(t) fy )

In queste coordinate la soluzione dell'equazione omogenea si scrive

srr = ( r-1 dr + r-2 dt2 ) X
srt = ( r-1 dt - dr dt ) X
stt = r2 dr2 X

Elasticita`

A basse profondita` nella roccia predomina il comportamento elastico, per cui la stabilita` e` determinata dai punti di debolezza: fratture e giunti (faglie e sovrascorrimenti). Ad elevate profondita` gli sforzi sono piu` intensi e quindi interviene il comportamento plastico. Si hanno cosi` le deformazioni, pieghe e compressioni).

Lo spostamento dei punti del mezzo materiale soggetto allo sforzo, e` il campo vettoriale u(x) che descrive per ogni punto x di quanto si sposta in seguito alle forze applicate: forze di superficie e forze di volume (eg, peso).

Il tensore di deformazione e` definito come uik = (1/2) ( diuk + dkui ), dove dk e` la derivata nella direzione k. In realta` questa e` una approssimazione, valida per piccoli spostamenti, che non tiene conto di termini di secondo ordine.

In coordinate polari

ur = cos(t) ux + sin(t) uy     ux = cos(t) ur - sin(t)/r ut
ut = - r sin(t) ux + r cos(t) uy     uy = sin(t) ur + cos(t)/r ut
urr = dr ur
urt = 1/2 (dr ut + dt ur) - ut/r
utt = dt ut + r ur

Un mezzo elastico e` determinato dalla relazione lineare fra il tensore delle deformazioni e quello degli sforzi (legge di Hooke). In due dimensioni (in tre dimensione i coefficienti numerici sono differenti) si ha

sik = K ull aik + 2 U ( uik - 1/2 ull aik )
  = L ull aik + 2 U uik

dove ull = u11 + u22 e aik e` la metrica (tensore metrico), che in coordinate cartesiane vale aik = diag(1, 1), e in coordinate polari aik = diag(1, r2). K e` detto modulo di compressione uniforme (o coefficiente di dilatazione volumetrica) e U e` il modulo di scorrimento. Assumono valori sempre positivi. Il secondo coefficiente di Lame` e` L = K - U.

La relazione inversa e`

uik = 1/(4K) sll aik + 1/(2U) ( sik - 1/2 sll aik )

Vediamo il primo esempio semplice: nel caso di compressione uniforme sik = - p aik. Allora si ha ull = -p/K e 1/K rappresenta la variazioni relativa di volume al variare della pressione (a temperatura costante): 1/K = - 1/V dV/dp.

Si parla di deformazioni omogenee quando il tensore di deformazione e` costante il tutto il mezzo. In tal caso anche il tensore degli sforzi e` costante in tutto il mezzo. La relazione fra i due tensori e` scritta in termini di due nuovi coefficienti: il coefficiente di Poisson S = (K-U)/(U+2K), che rappresenta il rapporto fra compressione trasversale e allungamento longitudinale, e il modulo di trazione (o di Young) E = 6 K U / (U+2K),

sik = E/(1+S) ( uik + S/(1-2S) ull aik )
uik = 1/E ( (1+S) sik - S sll aik )

Scritte per esteso queste formule sono

sxx = E/((1+S)(1-2S)) ( (1-S) uxx + S uyy )     uxx = 1/E ( sxx - S syy )
sxy = E/(1+S) uxy     uxx = (1+S)/E sxy
syy = E/((1+S)(1-2S)) ( (1-S) uyy + S uxx )     uyy = 1/E ( syy - S sxx )

In coordinate polari la relazione e`

urr = 1/E ( srr - S r-2 stt )
urt = (1+S)/E srt
utt = 1/E ( stt - S r2 srr )

Le equazioni di equilibrio dei mezzi isotropi elastici si ottengono sostituendo nella equazione fondamentale dk sik = - d gi l'espressione del tensore degli sforzi in termini di quello di deformazione e quest'ultimo in termini del vettore di spostamento.

D u + 1/(1-2S) grad div u = - 2(1+S)/E   d g

Applicando l'operatore div a questa si ottiene D div u = 0, cioe` div u e` una funzione armonica. Applicando l'operatore di Laplace, D=dx2 + dy2, si ha D D u = 0, cioe` il vettore deformazione u e` una funzione biarmonica. E` possibile anche esprimere la soluzione generale delle equazioni di equilibrio in termini delle derivate di un vettore biarmonico arbitrario.

Nel caso bidimensionale senza forze di volume (caso omogeneo) abbiamo sxx + syy = D X e uxx + uyy = div u. Quindi D D X = 0 cioe` X e` una funzione biarmonica.

La densita` di energia immagazzinata nelle tensioni interne al mezzo e`

En = uik sik

Per un messo elastico questa si scrive in coordinate polari

En = (1/2E) ( srr2 + 2 (1+S) r-2 srt2 + r-4 stt2 - 2 S r-2 srr stt )


7.I.2 Stabilita` delle cavita`

Deformazione di compressione Cominciamo vedendo cosa succede nella roccia piena, cioe` senza cavita`. Come primo esempio prendiamo una compressione lungo i due assi delle coordinate, per un mezzo infinitamente esteso

ux = A x
uy = B y

La figura a destra mostra gli spostamenti dei punti su una circonferenza: la circonferenza viene deformata in una ellisse. In questo caso uik = diag( A, B ) e il tensore degli sforzi e` pure diagonale, sik = diag(PH, PV) dove Ph e` la componente orizzontale della forza di compressione e PV e` quella verticale. Risulta

A = (1+S)/E ( S PV + (1-S) PH )
B = (1+S)/E ( S PH + (1-S) PV )=


Deformazione di compressione Come secondo esempio aggiungiamo la compressione dovuta alla densita` del mezzo (cioe` una forza di volume diretta verso il basso).

ux = A x - 2 C x y
uy = B x + B' y2 + C x y

La figura a destra mostra gli spostamenti lungo una circonferenza e lungo un asse orizzontale. Anche in questo caso uik = diag( A - 2 C y, B + 2 B' y) e il tensore degli sforzi e` pure diagonale. Se B' = (1-S)/S C esso ha la forma sik = diag(PH, PV - d g y)

A = (1+S)/E ( S PV + (1-S) PH )
B = (1+S)/E ( S PH + (1-S) PV )
C = (1+S)/E S/2 ( -d g )


7.I.2.1 Gallerie

Consideriamo un mezzo con una cavita` circolare. Questo rappresenta idealmente il condotto di una galleria mell'ammasso roccioso. Sulla superficie della cavita` deve annullarsi la componente normale dello sforzo (in assenza di forze superficiali). Conviene cercare la soluzione delle equazioni d'equilibrio, come perturbazione alla soluzione del mezzo senza cavita` data dagli esempi precedenti. Per semplicita` faremo riferimento al primo esempio.

ui = uoi + u'i
sik = soik + s'ik

La deformazione u' soddisfa il problema omogeneo, percio` s'ik si esprime in termini di derivate di una funzione biarmonica generale, che si puo` scrivere come sviluppo in serie di soluzioni indipendenti. La condizione di annullamento all'infinito limita il numero dei termini della serie,

X = ao log(r) + Sumk>1 ak r-k cos(k t) + Sumk>1 bk r-k sin(k t)

Per le condizioni al contorno (annullamento della componente normale dello sforzo srr) si ha

s'rr = - sorr
  = - (PH + PV)/2 - (PH - PV)/2 cos(2t)

Conviene introdurre due combinazioni delle pressioni,

P+ = ( PH + PV) / 2
P- = ( PH - PV) / 2

Calcolando la componente s'rr si ottiene che solo due coefficienti di X non sono nulli,

ao = - P+ R2
a2 = 1/6   P- R4

dove R e` il raggio della cavita`. Le componenti del tensore degli sforzi risultano

srr = P+ ( 1 - [R/r]2 ) + cos(2t) P- ( 1 - [R/r]4 )
srt = - r sin(2t) P- ( 1 + [R/r]4 )
stt = r2 P+ ( 1 + [R/r]2 ) + r2 cos(2t) P- ( -1 + [R/r]4 )

[FIXME: ho sbagliato qualcosa ???. L'articolo riporta

st = (Pv/2) [ (1+k)   (1+a2)   -   (1-k)   (1+3 a4)  cos(2t) ]

]

La resistenza alla compressione della roccia e` circa 900 Kgp/cm2, quella alla trazione 50 Kgp/cm2 e quella a sforzi di taglio 125 Kgp/cm2. La pressione Pv e` data dalla pressione idrostatica, d g H , dove la densita` della roccia e` circa 2500 Kg/m3. La pressione orizzontale e` dell'ordine di quella verticale, potendo essere sia maggiore (se prevale la componente compressiva) o minore (componente distensiva). La condizione di stabilita` richiede che la componente tangenziale del tensore degli sforzi non ecceda la resistenza della roccia alla compressione, e quella di taglio non ecceda la resistenza agli sforzi di taglio

(Ph + Pv) < 900 Kgp/cm2
(PH - PV) < 125 Kgp/cm2

Prendiamo in esame la roccia soggetta a sforzi compressivi. Assumendo che le pressioni orizzontale e verticale hanno lo stesso ordine di grandezza, risulta che e` il primo vincolo a determinare la stabilita` delle cavita`, le quali sono possibili fino a profondita` dell'ordine di 1800 m. Questa stima e` in accordo con i dati geofisici sulla presenza di cavita` fino a profondita` di alcuni kilometri.

In condizioni anisotrope il secondo vincolo diventa importante. Con i valori di K riportati sopra, la profondita` limite e` ridotta all'ordine di poche centinaia di metri.
[FIXME finire considerazioni sulla stabilita`: ]

Se c'e` una pressione interna nel condotto (galleria in regime freatico allagata), la condizione al contorno diventa l'egualianza della componente radiale del tensore degli sforzi con la pressione idrostatica del fluido, srr = Pi. Analiticamente bisogna rimpizzare P+ con P+ - Pi.

Quindi risulta che il fluido aiuta a sostenere con la sua pressione la galleria, come ci si aspetterebbe intuitivamente.

[FIXME: Stima dell'estensione dei crolli. Questa stima potrebbe essere fatta in base a considerazioni energetiche: valutazione dell'energia utilizzata nel crollo per rompere la roccia (proporzionale ala resistenza a trazione, Rt, e all'area di crollo, Pi x, dove per comodita` si usa la variabile x=r2 ) e di quella disponibile nel crollo per il rilascio delle tensioni nella roccia (questa e` della forma E = Int( uik sik Pi dx, e in prima approssimazione cresce anch'essa come x. In genere cresce meno di quella prima, infatti la roccia non crolla. Pero` si ha una concentrazione degli sforzi sul bordo della cavita` che porta a dei contributi di ordine superiore all'energia immagazzinata nelle tensioni. ]


7.I.2.2 Grandi pareti

Consideriamo ora lo sforzo su una grande parete ammettendo sempre che a grande distanza il tensore degli sforzi abbia la forma diagonale so = diag( PH, PV). Per semplicita` supponiamo che la parete sia infinitamente estesa e il mezzo continuo occupi le regione x>0. Come sopra cerchiamo la soluzione della equazione omogenea, che si esprime in termini di derivate della funzione degli sforzi, X, che si puo` scrivere come integrale

X = Int [ ak e- |k| x - i k y ] dk

in cui i coefficienti ak sono determinati dalle condizioni al contorno, cioe` dall'annullarsi della componente sxx sul piano x=0. Se prendiamo che sxx1 deve compensare una pressione orizzontale PH, risulta

X = PH (x2 - y2)/2

per cui il tensore degli sforzi globale, nelle vicinanze della parete, risulta avere solo la componente syy = PH + PV. La presenza della parete porta alla concentrazione degli sforzi (nella direzione tangenziale). In realta` abbiamo ricavato questo rislutato per una parete infinitamente estesa. In pratica la parete e` finita ed allontanandosi da essa il tensore degli sforzi ritorna ad essere so.


7.I.2.3 Saloni

Quale ultimo esempio riportiamo i risultati per la cavita` sferica (in tre dimensioni, cioe` una grande sala) dal libro L. Landau, Liftschitz, "Teoria della elasticita`", ed. MIR ... p. 37. L'espressione finale del tensore degli sforzi risulta

sik = qoik ( 1 + 5(1-2S)/(7-5S) r-3 + 3/(7-5S) r-5 )
+ 15/(7-5S) r-3 [S - r-2] ( qoil nk nl + qokl ni nl )
+ 15/2(7-5S) r-3 [-5 + 7 r-2] qolm nl nm ni nk
+ 15/2(7-5S) r-3 [1 - 2S - r-2] qolm nl nm aik
+ 1/3 qoll [ aik + 1/2 r-2 ( aik - ni nk ) ]

dove qo e` il deviatore degli sforzi, che in tre dimensioni si scrive qoik = soik - 1/3 soll aik . Sulla superficie della cavita` gli sforzi diventano

sik = 15/(7-5S) [ (1-S) (soik - soil nk nl - sokl ni nl ) + solm nl nm ni nk - S solm nl nm aik + (5S-1)/10 soll ( aik - ni nk ) ]

[FIXME questa e` da verificare ...]

Risulta che nelle vicinanze della cavita` gli sforzi sono molto piu` intensi che nelle lontananze. Questo incremento degli sforzi ha carattere molto pronunciato e diminuisce rapidamente con la distanza (fenomeno di concentrazione degli sforzi nei pressi delle cavita`).

7.I.3 Plasticita`

Plasticita` Un mezzo continuo ha un comportamento elastico fintanto che lo sforzo non eccede un certo limite. Quando tale limite viene raggiungo il mezzo diviene plastico e, se le regioni circostanti e i vincoli lo consentono, fluisce subendo deformazioni sempre maggiori. La figura a fianco mostra la relazione fra lo sforzo s e lo scorrimento u. Il valore h e` la costante di plasticita` del mezzo.

L'equazione che descrive il comportamento plastico e` la relazione che lega il tensore degli sforzi ad h. Introducendo il deviatore degli sforzi,

qik = sik - 1/2 sll aik
sik = qik + 1/2 sll aik

che ha qll=0, la relazione e` (scritta in termini del tensore degli sforzi e del deviatore degli sforzi)

(sxx - syy)2 + 4 sxy2 = 2 h2
(srr - stt/r2)2 + 4 sxy2/r2 = 2 h2
q112 + 2 q122 + q222 = h2

Il legame fra sforzi e la velocita` v degli scorrimanti in condizione plastiche pure, cioe` senza elasticita`, e` qik = L vik dove L e` un coefficiente di proporzionalita` e vik e` il tensore delle velocita` di deformazione vik = 1/2 di vk + . dk vi Il fatto che qll=0 implica che div v=0, cioe` non c'e` variazione di volume in assenza di elasticita`.

Percio` in condizioni plastiche si hanno due equazioni di equilibrio (tra le forze di volume e le derivate del tensore degli sforzi), e una relazione algebrica (fra le componenti del tensore degli sforzi). Le equazioni della dinamica diventano D vk = fk.


Deformazioni plastiche Come esempio consideriamo uno spostamento plastico con deformazione, ma senza variazione di volume, in assenza di forze di volume.

v1 = cos(a) x + sin(a) y
v2 = - sin(a) x + cos(a) y

per cui risulta

v11 = cos(a)
v12 = sin(a)
v22 = - cos(a)

Nella figura a destra e` schematizzato il movimento del mezzo plastico. Non si ha scorrimento sulla linea diagonale. Nella parte sopra di essa a destra si ha un flusso verso il basso. In quella inferiore sinistra uno verso l'alto. Alcune linee di flusso sono indicate. L'angolo di intersezione delle linee di flusso con gli assi e` a. Un cerchio viene deformato in una ellisse.

7.I.4 Dislocazioni

[FIXME: Mettere la dislocazioni ] [FIXME: Mettere la stabilita` delle fessure, teoria di Barenblatt ]



http://geocities.com/marco_corvi/caving/m_index.htm
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