7.I Sforzi ed elasticita` (Stabilita` delle cavita`)
A.Eusebio, M.V.Pastorino, S.Pedemonte, "L'altra faccia della speleogenesi:
criteri di indagine sui fattori meccanici di stabilita` delle cavita`
sotterranee", Speleologia, n. 29 (1993) p. 78-81.
La stabilita` delle cavita` dipende da quattro fattori:
la resistenza alla rottura del materiale roccioso di cui sono fatte
le grotte.
la presenza di discontinuita` (frattture, giunti di strato, faglie, ...).
lo stato degli sforzi (stress) locale.
le dimensioni a forma delle strutture ipogee.
La resistenza viene espressa in Kgp/cm2 o in
MPascal = 10 Kgp/cm2. Una altra unita` e`
ton/m2 = 0.1 Kgp/cm2.
Le rocce calcaree hanno valori di resistenza alla compressione dell'ordine di
900 Kgp/cm2 ed alla trazione di 50 Kgp/cm2.
La resistenza agli sforzi di taglio e` 125 Kgp/cm2.
[MdI]
Questi sono valori medi e bisogna tener conto che c'e` molta variabilita`.
Lo stato degli sforzi nella roccia ha una componente verticale
Pv, e una orizzontale Ph.
La componente verticale cresce con la profondita`, H,
proporzionalmente al peso specifico p della roccia (circa 2.5 Kg/l):
Pv = p H, oltre a dipendere
anche dalla geomorfologia.
Quella orizzontale e` determinata da spinte tettoniche (compressioni o
distensioni) e dalla ridistribuzione degli sforzi.
Il valore del rapporto fra le due componenti,
k=Ph / Pv, indica l'isotropia o meno
dello stato di sforzo.
A basse profondita` (meno di 500 m) sperimentalmente k
ha valori variabili fra circa 0.5 e 5.5. In profondita` si presume che
con la ridistribuzione degli sforzi k tenda ad uno
(condizioni idrostatiche). [FIXME: e` vero ?]
In condizioni isotrope (k=1), lo sforzo tangenziale supera la
resistenza alla compressione a profondita` di circa due kilometri.
A basse profondita` in condizioni distensive, le cavita` possono
risultare instabili anche a poche centinaia di metri.
A basse profondita` (piccoli sforzi) predomina il comportamento
elastico della roccia per cui la stabilita` della cavita` e` determinata
dalla presenza di fratture e giunti.
Ad elevate profondita` (grandi pressioni) diventa rilevante
il comportamento plastico.
7.I.1 Teoria degli sforzi
Per descrivere la stabilita` delle cavita`, cioe` la stabilita` della
roccia, bisogna ricorrere alla teoria degli sforzi nei mezzi continui.
Questa e` una branca abbastanza complessa della fisica matematica.
La ragione fisica risiede nel fatto che una forza applicata in una direzione
su un mezzo continuo puo` indurre sforzi (forze interne al mezzo) anche
in altre direzioni.
Per descrivere il problema si ricorre al calcolo tensoriale.
Vediamone gli aspetti generali.
Sforzi
Il tensore degli sforzi descrive lo stato delle forze che
agiscono all'interno del mezzo continuo. La componente
sik descrive la forza nella direzione i
applicata su una superficie perpendicolare alla direzione k
nel punto in esame.
Esso soddisfa due importanti relazioni.
Larelazione di Cauchy, che discende dalla legge di Newton
applicata ai momenti torcenti delle forze, e che stabilisce che il
tensore degli sforzi e` simmetrico,
sik = ski
e la legge di Newton per la forze di volume f,
fi = dk sik
Nel caso di un mezzo soggetto alla forza peso questa equazione diviene
dk sik = -d g ,
dove d e` la densita`, e g la accelerazione di gravita`.
Il tensore degli sforzi deve soddisfare anche delle relazioni dovute
alle forze F che agiscono sulla superficie del mezzo continuo,
precisamente le condizioni al contorno (o ai limiti).
Se n e` il vettore normale alla superficie del mezzo, si ha
sik nk = Fi
Da sole queste relazioni non bastano a descrivere lo stato del mezzo
continuo. Ci vuole anche qualche relazione che lega gli sforzi alle
deformazioni, ed e` caratteristica del tipo di mezzo in esame
(mezzo elastico, mezzo plastico, etc.).
Prima pero` di completare le equazioni e risolvere lo stato di semplici
mezzi continui per arrivare ad una descrizione della stabilita`
delle cavita`, scriviamo queste relazioni esplicitamente in 2 dimensioni.
Il problema diviene bidimensionale in due casi: quando gli sforzi
sono piani, oppure quando le deformazioni sono piane.
Qui analizziamo il problema piano, cioe` ignoriamo completamente
la terza direzione. Questa e` una semplificazione e non corrisponde
ad alcuna delle due citate situazioni.
In due dimensioni (x, e y) l'equazione fondamentale e`
dx sxx + dy sxy = fx
dx sxy + dy syy = fy
In assenza di forze di volume (equazione omogenea) la soluzione piu` generale
e` espressa in termini delle derivate di una funzione, X, detta
funzione degli sforzi:
sxx
=
dy2 X
sxy
=
- dx dy X
syy
=
dx2 X
Dato che saremo interessati a soluzioni a simmetria cilindrica (cioe`
le gallerie) scriviamo queste relazioni usando le coordinate polari
r
=
(x2 + y2)1/2
x
=
r cos( t )
t
=
arctan( y/x )
y
=
r sin( t )
La trasformazione delle derivate (detta legge di trasformazione
covariante) risulta
dx
=
cos(t) dr - sin(t)/r dt
dr
=
cos(t) dx + sin(t) dy
dy
=
sin(t) dr + cos(t)/r dt
dt
=
- r sin(t) dx + r cos(t) dy
Le componenti del tensore degli sforzi si esprimono in termini di
quelle nel sistema di riferimento cartesiano
srr
=
cos(t)2 sxx
+ 2 sin(t) cos(t) sxy
+ sin(t)2 syy
srt
=
r ( - sin(t) cos(t) sxx
- (sin(t)2 - cos(t)2) sxy
+ sin(t) cos(t) syy )
In queste coordinate la soluzione dell'equazione omogenea si scrive
srr
=
( r-1 dr + r-2 dt2 )
X
srt
=
( r-1 dt - dr dt )
X
stt
=
r2 dr2 X
Elasticita`
A basse profondita` nella roccia predomina il comportamento elastico,
per cui la stabilita` e` determinata dai punti di debolezza: fratture e
giunti (faglie e sovrascorrimenti).
Ad elevate profondita` gli sforzi sono piu` intensi e quindi interviene il
comportamento plastico. Si hanno cosi` le deformazioni, pieghe e
compressioni).
Lo spostamento dei punti del mezzo materiale soggetto allo sforzo, e`
il campo vettoriale u(x)
che descrive per ogni punto x di quanto si sposta in seguito alle
forze applicate: forze di superficie e forze di volume (eg, peso).
Il tensore di deformazione e` definito come
uik = (1/2) ( diuk +
dkui ), dove dk e` la
derivata nella direzione k. In realta` questa e` una approssimazione,
valida per piccoli spostamenti, che non tiene conto di termini di secondo
ordine.
In coordinate polari
ur
=
cos(t) ux + sin(t) uy
ux
=
cos(t) ur - sin(t)/r ut
ut
=
- r sin(t) ux + r cos(t) uy
uy
=
sin(t) ur + cos(t)/r ut
urr
=
dr ur
urt
=
1/2 (dr ut
+ dt ur) - ut/r
utt
=
dt ut + r ur
Un mezzo elastico e` determinato dalla relazione lineare fra il tensore
delle deformazioni e quello degli sforzi
(legge di Hooke).
In due dimensioni (in tre dimensione i coefficienti numerici sono
differenti) si ha
sik
=
K ull aik + 2 U
( uik - 1/2 ull aik )
=
L ull aik + 2 U uik
dove
ull = u11 + u22
e aik e` la metrica (tensore metrico), che in
coordinate cartesiane vale aik = diag(1, 1),
e in coordinate polari aik = diag(1, r2).
K e` detto modulo di compressione uniforme (o coefficiente di
dilatazione volumetrica) e U e` il
modulo di scorrimento. Assumono valori sempre positivi.
Il secondo coefficiente di
Lame` e`
L = K - U.
Vediamo il primo esempio semplice: nel caso di compressione uniforme
sik = - p aik. Allora si ha
ull = -p/K e 1/K rappresenta la variazioni
relativa di volume al variare della pressione (a temperatura costante):
1/K = - 1/V dV/dp.
Si parla di deformazioni omogenee quando il tensore di deformazione
e` costante il tutto il mezzo. In tal caso anche il tensore degli
sforzi e` costante in tutto il mezzo.
La relazione fra i due tensori e` scritta in termini di due
nuovi coefficienti: il coefficiente di
PoissonS = (K-U)/(U+2K),
che rappresenta il
rapporto fra compressione trasversale e allungamento longitudinale,
e il modulo di trazione (o di
Young) E = 6 K U / (U+2K),
sik
=
E/(1+S) ( uik + S/(1-2S) ull
aik )
uik
=
1/E ( (1+S) sik - S sll
aik )
Scritte per esteso queste formule sono
sxx
=
E/((1+S)(1-2S))
( (1-S) uxx + S uyy )
uxx
=
1/E
( sxx - S syy )
sxy
=
E/(1+S) uxy
uxx
=
(1+S)/E sxy
syy
=
E/((1+S)(1-2S))
( (1-S) uyy + S uxx )
uyy
=
1/E
( syy - S sxx )
In coordinate polari la relazione e`
urr
=
1/E ( srr - S r-2 stt )
urt
=
(1+S)/E srt
utt
=
1/E ( stt - S r2 srr )
Le equazioni di equilibrio dei mezzi isotropi elastici si ottengono sostituendo
nella equazione fondamentale
dk sik = - d gi
l'espressione del tensore degli sforzi in termini di quello di
deformazione e quest'ultimo in termini del vettore di spostamento.
D u + 1/(1-2S) grad div u = - 2(1+S)/E d g
Applicando l'operatore div a questa si ottiene
D div u = 0,
cioe` div u e` una funzione armonica.
Applicando l'operatore di Laplace,
D=dx2 + dy2,
si ha D D u = 0,
cioe` il vettore deformazione u e` una funzione biarmonica.
E` possibile anche esprimere la soluzione generale delle equazioni di
equilibrio in termini delle derivate di un vettore biarmonico arbitrario.
Nel caso bidimensionale senza forze di volume (caso omogeneo)
abbiamo sxx + syy = D X e
uxx + uyy = div u.
Quindi D D X = 0 cioe` X e` una funzione biarmonica.
La densita` di energia immagazzinata nelle tensioni interne al mezzo e`
En = uik sik
Per un messo elastico questa si scrive in coordinate polari
En = (1/2E) ( srr2
+ 2 (1+S) r-2 srt2
+ r-4 stt2
- 2 S r-2 srr stt )
7.I.2 Stabilita` delle cavita`
Cominciamo vedendo cosa succede nella roccia piena, cioe` senza
cavita`. Come primo esempio prendiamo una compressione lungo i
due assi delle coordinate,
per un mezzo infinitamente esteso
ux
=
A x
uy
=
B y
La figura a destra mostra gli spostamenti dei punti su una circonferenza:
la circonferenza viene deformata in una ellisse.
In questo caso uik = diag( A, B )
e il tensore degli sforzi e` pure diagonale,
sik = diag(PH, PV)
dove Ph e` la componente orizzontale della forza
di compressione e PV e` quella verticale.
Risulta
A
=
(1+S)/E ( S PV + (1-S) PH )
B
=
(1+S)/E ( S PH + (1-S) PV )=
Come secondo esempio aggiungiamo la compressione dovuta
alla densita` del mezzo (cioe` una forza di volume diretta verso il basso).
ux
=
A x - 2 C x y
uy
=
B x + B' y2 + C x y
La figura a destra mostra gli spostamenti lungo una circonferenza
e lungo un asse orizzontale.
Anche in questo caso uik = diag( A - 2 C y, B + 2 B' y)
e il tensore degli sforzi e` pure diagonale.
Se B' = (1-S)/S C esso ha la forma
sik = diag(PH, PV - d g y)
A = (1+S)/E ( S PV + (1-S) PH )
B = (1+S)/E ( S PH + (1-S) PV )
C = (1+S)/E S/2 ( -d g )
7.I.2.1 Gallerie
Consideriamo un mezzo con una cavita` circolare.
Questo rappresenta idealmente il condotto di una galleria
mell'ammasso roccioso.
Sulla superficie della cavita` deve annullarsi la componente
normale dello sforzo (in assenza di forze superficiali).
Conviene cercare la soluzione delle equazioni d'equilibrio, come
perturbazione alla soluzione del mezzo senza cavita` data dagli esempi
precedenti. Per semplicita` faremo riferimento al primo esempio.
ui = uoi + u'i
sik = soik + s'ik
La deformazione u' soddisfa il problema omogeneo, percio`
s'ik si esprime in termini di derivate di una
funzione biarmonica generale, che si puo` scrivere come sviluppo
in serie di soluzioni indipendenti.
La condizione di annullamento all'infinito limita il numero
dei termini della serie,
X = ao log(r)
+ Sumk>1 ak r-k cos(k t)
+ Sumk>1 bk r-k sin(k t)
Per le condizioni al contorno (annullamento della componente normale
dello sforzo srr) si ha
s'rr
=
- sorr
=
- (PH + PV)/2
- (PH - PV)/2 cos(2t)
Conviene introdurre due combinazioni delle pressioni,
P+ = ( PH + PV) / 2
P- = ( PH - PV) / 2
Calcolando la componente s'rr si ottiene che solo
due coefficienti di X non sono nulli,
ao
=
- P+
R2
a2
=
1/6 P-
R4
dove R e` il raggio della cavita`.
Le componenti del tensore degli sforzi risultano
La resistenza alla compressione della roccia
e` circa 900 Kgp/cm2,
quella alla trazione 50 Kgp/cm2
e quella a sforzi di taglio 125 Kgp/cm2.
La pressione Pv e`
data dalla pressione idrostatica, d g H , dove la densita`
della roccia e` circa 2500 Kg/m3.
La pressione orizzontale e` dell'ordine di quella verticale,
potendo essere sia maggiore (se prevale la componente compressiva)
o minore (componente distensiva).
La condizione di stabilita` richiede che la componente tangenziale del
tensore degli sforzi non ecceda la resistenza della roccia alla compressione,
e quella di taglio non ecceda la resistenza agli sforzi di taglio
(Ph + Pv)
< 900 Kgp/cm2
(PH - PV)
< 125 Kgp/cm2
Prendiamo in esame la roccia soggetta a sforzi compressivi.
Assumendo che le pressioni orizzontale e verticale hanno lo stesso
ordine di grandezza, risulta che e` il primo vincolo a determinare la
stabilita` delle cavita`, le quali
sono possibili fino a profondita` dell'ordine di 1800 m.
Questa stima e` in accordo con i dati geofisici sulla presenza di cavita`
fino a profondita` di alcuni kilometri.
In condizioni anisotrope il secondo vincolo diventa importante.
Con i valori di K riportati sopra,
la profondita` limite e` ridotta all'ordine di poche
centinaia di metri.
[FIXME finire considerazioni sulla stabilita`: ]
Se c'e` una pressione interna nel condotto (galleria in regime freatico
allagata), la condizione al contorno diventa l'egualianza della
componente radiale del tensore degli sforzi con la pressione
idrostatica del fluido,
srr = Pi.
Analiticamente bisogna rimpizzare P+ con
P+ - Pi.
Quindi risulta che il fluido aiuta a sostenere con la sua pressione
la galleria, come ci si aspetterebbe intuitivamente.
[FIXME: Stima dell'estensione dei crolli.
Questa stima potrebbe essere fatta in base a considerazioni energetiche:
valutazione dell'energia utilizzata nel crollo per rompere la roccia
(proporzionale ala resistenza a trazione, Rt, e all'area
di crollo, Pi x, dove per comodita` si usa la variabile
x=r2 ) e di quella disponibile nel crollo per
il rilascio delle tensioni nella roccia (questa e` della forma
E = Int( uik sik Pi dx, e in prima
approssimazione cresce anch'essa come x.
In genere cresce meno di quella prima, infatti la roccia non crolla.
Pero` si ha una concentrazione degli sforzi sul bordo della cavita`
che porta a dei contributi di ordine superiore all'energia immagazzinata
nelle tensioni.
]
7.I.2.2 Grandi pareti
Consideriamo ora lo sforzo su una grande parete
ammettendo sempre che a grande
distanza il tensore degli sforzi abbia la forma diagonale
so = diag( PH, PV).
Per semplicita` supponiamo che la parete sia infinitamente estesa e
il mezzo continuo occupi le regione x>0.
Come sopra cerchiamo la soluzione della equazione omogenea, che si esprime in
termini di derivate della funzione degli sforzi, X, che si
puo` scrivere come integrale
X = Int [ ak e- |k| x - i k y ] dk
in cui i coefficienti ak sono determinati dalle
condizioni al contorno, cioe` dall'annullarsi della componente
sxx sul piano x=0.
Se prendiamo che sxx1 deve compensare
una pressione orizzontale PH, risulta
X = PH (x2 - y2)/2
per cui il tensore degli sforzi globale, nelle vicinanze della parete,
risulta avere solo la componente
syy = PH + PV.
La presenza della parete porta alla concentrazione degli sforzi
(nella direzione tangenziale). In realta` abbiamo ricavato questo
rislutato per una parete infinitamente estesa.
In pratica la parete e` finita ed allontanandosi da essa il tensore degli
sforzi ritorna ad essere so.
7.I.2.3 Saloni
Quale ultimo esempio riportiamo i risultati per la cavita` sferica
(in tre dimensioni, cioe` una grande sala) dal libro
L. Landau, Liftschitz, "Teoria della elasticita`", ed. MIR ...
p. 37.
L'espressione finale del tensore degli sforzi
risulta
sik =
qoik (
1 + 5(1-2S)/(7-5S) r-3 + 3/(7-5S) r-5 )
+ 15/(7-5S) r-3 [S - r-2]
( qoil nk nl
+ qokl ni nl )
+ 15/2(7-5S) r-3 [-5 + 7 r-2]
qolm nl nm
ni nk
+ 15/2(7-5S) r-3 [1 - 2S - r-2]
qolm nl nm
aik
+ 1/3 qoll [ aik + 1/2 r-2
( aik - ni nk ) ]
dove qo e` il deviatore degli sforzi, che in tre
dimensioni si scrive qoik =
soik - 1/3 soll
aik.
Sulla superficie della cavita` gli sforzi diventano
sik =
15/(7-5S) [ (1-S) (soik
- soil nk nl
- sokl ni nl )
+ solm nl nm
ni nk
- S solm nl nm aik
+ (5S-1)/10 soll
( aik - ni nk ) ]
[FIXME questa e` da verificare ...]
Risulta che nelle vicinanze della cavita` gli sforzi sono molto piu`
intensi che nelle lontananze. Questo incremento degli sforzi ha carattere
molto pronunciato e diminuisce rapidamente con la distanza
(fenomeno di concentrazione degli sforzi nei pressi delle cavita`).
7.I.3 Plasticita`
Un mezzo continuo ha un comportamento elastico fintanto che lo sforzo non
eccede un certo limite. Quando tale limite viene raggiungo il mezzo diviene
plastico e, se le regioni circostanti e i vincoli lo consentono, fluisce
subendo deformazioni sempre maggiori.
La figura a fianco mostra la relazione fra lo sforzo s e lo
scorrimento u. Il valore h e` la costante di plasticita`
del mezzo.
L'equazione che descrive il comportamento plastico e` la relazione che lega
il tensore degli sforzi ad h. Introducendo il deviatore degli
sforzi,
qik
=
sik - 1/2 sll aik
sik
=
qik + 1/2 sll aik
che ha qll=0, la relazione e` (scritta in termini del
tensore degli sforzi e del deviatore degli sforzi)
Il legame fra sforzi e la velocita` v degli
scorrimanti in condizione plastiche pure, cioe`
senza elasticita`, e` qik = L vik
dove L e` un coefficiente di proporzionalita` e
vik e` il tensore delle velocita` di deformazione
vik = 1/2 di vk + .
dk vi
Il fatto che qll=0 implica che div v=0,
cioe` non c'e` variazione di volume in assenza di elasticita`.
Percio` in condizioni plastiche si hanno due equazioni di equilibrio
(tra le forze di volume e le derivate del tensore degli sforzi), e una
relazione algebrica (fra le componenti del tensore degli sforzi).
Le equazioni della dinamica diventano D vk = fk.
Come esempio consideriamo uno spostamento plastico con deformazione, ma
senza variazione di volume, in assenza di forze di volume.
v1
=
cos(a) x + sin(a) y
v2
=
- sin(a) x + cos(a) y
per cui risulta
v11
=
cos(a)
v12
=
sin(a)
v22
=
- cos(a)
Nella figura a destra e` schematizzato il movimento del mezzo plastico.
Non si ha scorrimento sulla linea diagonale.
Nella parte sopra di essa a destra si ha un flusso verso il basso. In
quella inferiore sinistra uno verso l'alto. Alcune linee di flusso
sono indicate.
L'angolo di intersezione delle linee di flusso con gli assi e` a.
Un cerchio viene deformato in una ellisse.
7.I.4 Dislocazioni
[FIXME: Mettere la dislocazioni ]
[FIXME: Mettere la stabilita` delle fessure, teoria di Barenblatt ]
Lo stato degli sforzi nella roccia ha una componente verticale
Pv, e una orizzontale Ph.
La componente verticale cresce con la profondita`, H,
proporzionalmente al peso specifico p della roccia (circa 2.5 Kg/l):
Pv = p H, oltre a dipendere
anche dalla geomorfologia.
Quella orizzontale e` determinata da spinte tettoniche (compressioni o
distensioni) e dalla ridistribuzione degli sforzi.
Il valore del rapporto fra le due componenti,
k=Ph / Pv, indica l'isotropia o meno
dello stato di sforzo.
A basse profondita` (meno di 500 m) sperimentalmente k
ha valori variabili fra circa 0.5 e 5.5. In profondita` si presume che
con la ridistribuzione degli sforzi k tenda ad uno
(condizioni idrostatiche). [FIXME: e` vero ?]
Sforzi
Cominciamo vedendo cosa succede nella roccia piena, cioe` senza
cavita`. Come primo esempio prendiamo una compressione lungo i
due assi delle coordinate,
per un mezzo infinitamente esteso
Come secondo esempio aggiungiamo la compressione dovuta
alla densita` del mezzo (cioe` una forza di volume diretta verso il basso).
Un mezzo continuo ha un comportamento elastico fintanto che lo sforzo non
eccede un certo limite. Quando tale limite viene raggiungo il mezzo diviene
plastico e, se le regioni circostanti e i vincoli lo consentono, fluisce
subendo deformazioni sempre maggiori.
La figura a fianco mostra la relazione fra lo sforzo s e lo
scorrimento u. Il valore h e` la costante di plasticita`
del mezzo.
Come esempio consideriamo uno spostamento plastico con deformazione, ma
senza variazione di volume, in assenza di forze di volume.