7.G Fisica del clima ipogeo

G.Badino "Fisica del clima sotterraneo", Memorie SSI, Bologna 1995.
Ranald V.Giles, "Fluid mechanics and hydraulics", McGraw-Hills 1962.
http://webbook.nist.gov/ N.I.S.T. Chemistry WebBook

Questa e` una sezione di "Fisica Tecnica", e sarebbe tutta scritta in caratteri piccolissimi se non fosse per l'importanza che ha nella comprensione della speleogenesi e dell'evoluzione delle grotte.

7.G.1 Simboli e unita` di misura

Questa sezione e` piena di formule; per facilitare la lettura elenchiamo i simboli usati per le varie variabili e le unita` di misura.

7.G.2 I fluidi

L'aria nelle condizioni di grotta e` un gas quasi ideale, per cui vale la legge dei gas ideali

dove P e` la pressione, V il volume, N il numero di moli, T la temperatura (misurata in gradi assoluti), e R e` una costante (detta appunto costante dei gas) che vale 0.0821 l atm/^oK Moli = 8.31 J/^oK Moli. Una mole di gas occupa in condizioni normali circa 22.4 l, percio` ci sono 44.64 moli per metro cubo.

Dividendo per la massa M e usando la densita` d=M/V questa legge si scrive

dove R_a = R / M_a e` la costante dei gas divisa per la massa molare dell'aria (massa effettiva che vale 28.9 g/Moli), per cui R_a = 2.84 atm/^oK   l/Kg. Per il vapor acqueo R_v = 4.56 atm/^oK   l/Kg.

La legge di Dalton esprime la pressione parziale di un gas in una miscela. Essa e` proporzionale alla pressione totale, con il coefficiente pari alla frazione (molare) del gas nella miscela. Per esempio la pressione di vapore acqueo nell'aria e`

La legge di continuita` esprime la conservazione della materia: per un fluido in movimento il prodotto della densita` d per la sezione del condotto A per la velocita` v e` costante:

Se il fluido e` quasi incomprimibile (come l'acqua) la densita` resta costante e` questa equazione si semplifica (conservazione del "volume"):

La legge di Bernoulli esprime la relazione fra le velocita` di un fluido (per esempio l'aria) in due punti di una condotta (galleria o strettoia), le quote di questi, e la pressione del fluido nei due punti,

dove E e` l'energia "scambiata" durante il movimento dal primo punto al secondo. Da notare che l'energia viene espressa in m<sup>2</sup>/sec<sup>2</sup> poiche` e` divisa per la massa unitaria. Questa relazione esprime essenzialmente la legge di conservazione dell'energia. Il primo termine e` l'energia potenziale, il secondo la pressione interna, il terzo l'energia cinetica, il quarto l'energia interna. Il termine E contiene il contributo di lavoro L e gli effetti dissipativi (viscosita` e attriti) Q. L'energia degradata e` E_diss = U₂ - U₁ + Q e risulta sempre non-negativa. Cambiamenti di stato (riscaldamento, evaporazione/condensazione di vapore, ...) complicano notevolmente questa relazione.

Il moto di un fluido avviene secondo due differenti modi:

• laminare, cioe` ordinato, guidato dalla viscosita`;
• turbolento, cioe` vorticoso, guidato dall'inerzia del fluido.

7.G.3 Il calore

7.G.4 La Roccia

Riportiamo dalla sezione 7.6 i valori tipici di un massiccio carsico (per 1 Km² di superficie):

• volume delle cavita`: 10<sup>5</sup> m<sup>3</sup>
• dislivello: 1000 m
• lunghezza delle gallerie: 10<sup>5</sup> m
• dimensione media delle gallerie: 1 m
• superficie delle gallerie: 10<sup>5</sup> m<sup>2</sup>
• flusso d'aria: 5 m<sup>3</sup>/sec
• tempo di rinnovamento: alcune ore (circa 6)
• precipitazioni: 1000 mm/anno (pari a 10<sup>6</sup> m<sup>3</sup>/anno)
• risorgenze: 20 litri/sec
• apporto d'acqua di infiltrazione: 0.019 m<sup>3</sup>/sec (coefficiente d`infiltrazione 0.6)
• apporto d'acqua di condensazione superficiale: 0.002 m³/sec
• apporto d'acqua di condensazione interna: 0.000002 m³/sec
• volume acquifero (per una riserva di 4 mesi) 2 10⁵ m³
• volume di roccia erosa 1 m³/anno [FIXME oppure 0.01 ?]
• velocita` di speleogenesi 10^-5 m/anno

La roccia e` un pessimo conduttore di calore. Le variazioni di temperatura si trasmettono all'interno della roccia molto attenuate in ampiezza e ritartdate di fase. Percio` la temperatura della roccia in profondita` e` essenzialmente stabile e costante, e pari al valor medio annuale delle temperature esterne degli ultimi millenni.

Onda termica

L'equazione che modella questo la diffusione del calore nella roccia e` detta equazione del calore,

dove K e` la conducibilita` termica, C e` la capacita` termica e d e` la densita`. Questa formula deriva dalla formula della conducibilita` termica e dalla relazione della capacita` termica, che lega la variazione di temperatura con il flusso netto di calore.

Prendendo un sistema di riferimento in cui la roccia occupa la regione con coordinate x positive, la soluzione di questa equazione per una data temperatura esterna (nel punto x=0) oscillante, T_est(t) = T_o + A   sin(w t), risulta

dove L² = 2 K / w C d .
Se si considera che lo scambio di calore fra aria e roccia avviene per convezione (tipicamente con coefficiente H = 10 Kcal/m^{2 o}C ora), la condizione al contorno sulla superficie aria-roccia e` 1/C d_tT = H (T_aria cos( wt ) - T ) + K d_x T. Questo comporta un coefficiente davanti all'esponenziale, e uno sfasamento [Desio (1959)].

Tipicamente la distanza di penetrazione dell'onda termica vale (in metri) L=0.015 t[ore]^1/2, dove t denota il periodo dell'onda. Utilizzando i valori riportati nelle tabelle precedenti si trova che per variazioni giornaliere (w=0.26 h^-1, e assumendo una escursione di 10 ^oC: A=5) L vale circa 0.2, mentre un valore effettivo e` intorno a 0.3. Infatti l'intensita` e` ridotta a 1 <sup>o</sup>C circa gia` a 60 cm, e a 0.1 ^oC a 1 m. Per quelle variazioni annuali w e` 365 volte piu` piccolo, (e l'escursione e` maggiore A=15) e il calcolo di L (3.6) e` in miglior accordo coi dati sperimentali: le variazioni risultano ridotte a 1 ^oC intorno a 12 m.

La roccia influenza i fenomeni termici (a breve scala temporale) della cavita` solo per un piccolo strato "superficiale" (quello in contatto con i fluidi aria e acqua). La capacita` termica effettiva della roccia e` quindi

La capacita` per unita` di superficie vale circa 1.6 KJ/^oK sqrt(t[sec]).

7.G.5 L'aria

Composizione dell'atmosfera

La composizione dell'aria secca consiste di azoto N₂ 78.1%, ossigeno O₂ 20.9%, anidride carbonica CO₂ 0.03%, argon Ar 0.9%, e altri gas. La pressione parziale della CO₂ nell'atmosfera esterna vale P(CO₂) = 0.0003 P, dove P e` la pressione totale, e decresce quindi leggermente con la quota (secondo la legge di Dalton varrebbe 0.00025 atm a 2000 m, in effetti vale un poco meno, probabilmente poiche` l'anidride carbonica e` piu` densa dell'aria e tende a scendere in basso).

L'atmosfera del suolo vegetale risulta invece ricca di CO₂ a causa della decomposizione organica. Questa anidride carbonica si forma dunque a spese di O₂; percio` la somma delle percentuali di CO<sub>2</sub> ed O<sub>2</sub> resta pressoche` costante intorno al 21 % (variazioni sono dovute ai fenomeni che coinvolgono consumo e produzione di azoto). La decomposizione organica diminuisce con l'altitudine, percio` anche la percentuale di CO₂ nel terreno.

L'atmosfera del suolo e quella esterna sono in contatto e si instaura uno scambio CO₂ <--> O₂ fra le due. Nel suolo P(CO₂) = 0.02 - 0.04 P . Solo una piccola parte di questa CO₂ passa in soluzione nell'acqua di percolazione ed entra nella cavita`: circa 0.0020 atm. Questa e` comunque sufficiente a saturare l'acqua di CO₂ rispetto alla atmosfera della grotta, ed innesca la chimica del concrezionamento.

Pressione e temperatura dell'aria

Se la temperatura dell'aria fosse costante la pressione avrebbe un andamento esponenziale decrescente con la quota z, P(z) = P(0) exp( -g d z / R T). Questa e` la situazione della parte estremamente alta dell'atmosfera, la stratosfera fra 10 e 50 km. Nella parte bassa dell'atmosfera la temperatura invece cambia e le variazioni dell'aria sono piu` simili a trasformazioni adiabatiche (cioe` senza scambio di calore).

Le trasformazioni adiabatiche permettono di descrivere le variazioni dell'aria, svincolate dagli scambi con fattori esterni (acqua e pareti). Per i gas vale la legge di Laplace,

dove k=C_p / C_v e` il rapporto fra i calori specifici a pressione e volume costanti (che vale 1.4 per l'aria). Utilizzando la legge dei gas questa formula diviene T^k P^1-k=costante. La pressione varia con la quota, dP = -g d dZ, quindi la variazione di temperatura risulta

Dunque la temperatura decresce linearmente con la quota con un gradiente altimetrico

Riassumendo abbiamo

Queste formule valgono anche per k diverso dal rapporto fra i calori specifici. In questo caso si parla di trasformazioni politropiche e k viene chiamato esponente politropico. La tabella sopra riporta alcuni valori del gradiente termico altimetrico per differenti k corrispondenti a differenti condizioni dell'aria. Sono inclusi per completezza anche i gradienti idrico e geotermico. In prima approssimazione il gradiente di pressione risulta dP/dz = - M_a g / R T_o, percio` indipendente dall'esponente politropico.

Il lavoro per innalzare una massa d'aria di una quota Z risulta

Quando l'aria scende, le forze che la spingono compiono un lavoro di compressione cha va in energia interna dell'aria. Quando sale e` l'aria che compie un lavoro e perde energia.

Aria umida

L'atmosfera e` raramente composta solo da aria, ma contiene anche una piccola percentuale di vapor d'acqua che ne condiziona pero` molto il comportamento. Si parla di aria umida. Una tale atmosfera puo` essere considerata come una miscela di due "gas": aria e vapor acqueo. Anche se il primo e` a sua volta una miscela, tuttavia esso e` composto da gas con comportamento abbastanza simile (alle temrperature e pressioni ordinarie) e che si differenzia decisamente da quello del vapore d'acqua. Pertanto la descrizione come una miscela a due componenti e` adeguata per lo studio del clima ipogeo.

L'umidita` assoulta si misura in due modi,

• come concentrazione cioe` gr(H<sub>2</sub>O) per m<sup>3</sup>(aria), o meglio come "titolo", che e` il rapporto fra la massa di vapore e quella dell'aria secca, x = m_v / m_a
• con la pressione parziale (tensione di vapore) del vapor d'acqua nell'aria, misurata in mm(Hg) o in millibar (ricordiamo che 1 atm = 760 mm(Hg) = 1013 mbar).

La densita' dell'aria (secca), ovvero il volume di una massa d'aria (a pressione costante), dipende dalla temperatura secondo la legge dei gas perfetti,

dove V_o e' il volume a 0^oC, t e' la temperatura espressa in gradi centigradi, e a e' detto coefficiente di dilatazione, e per l'aria (come per i gas) vale 1/273 = 0.00376.

Per l'acqua il volume specifico, tra 0 e 20^oC, si puo' esprimere V = V_o( 1 + 0.0000075 (t-4)² ).

La densita` dell'aria umida e`

dove M_a=0.0289 Kg/Mole, r e` l'umidita` relativa, e il coefficiente 0.375 e` il rapporto (28.8-18)/28.8. Si potrebbe introdurre una temperatura virtuale in modo da scrivere questa formula come la legge dei gas, d R T<sub>V</sub> = M<sub>a</sub> P. La temperatura virtuale e` la temperatura dell'aria secca alla quale la densita` eguaglia quella dell'aria umida.

Entalpia dell'aria umida

Quando l'aria entra dall'esterno in grotta passa dalla temperatura i esterna a quella interna scambiando calore con la grotta. La sua umidita` assoluta resta costante fino a che non raggiunge il punto di saturazione, dopodiche` il vapore comincia a condensare. Questa condensazione rappresenta un ulteriore trasferimento di calore dall'aria alla grotta. Per la stima del calore scambiato occorre valutare la differenza di entalpia dell'aria (e dell'acqua presente come vapore e in sospensione) tra l'esterno e l'interno. L'entalpia descrive il contenuto energetico di un gas quando la pressione non varia.

L'entalpia dell'aria umida e` data dalla formula (questa e` entalpia specifica, cioe` per unita` di massa di aria secca)

dove C_P sono i calori specifici a pressione costante, C_P,a = 0.24 cal/gr ^oC e C_P,v = 0.45 cal/gr ^oC. Il termine 595 rappresenta il calore di evaporazione dell'acqua, a 0 ^oC.

Abbiamo trascurato alcuni termini nella formula dell'entalpia:

• un termine di energia cinetica dell'aria (1+x)/2 v²
• la capacita` termica delle goccie d'acqua, C (D/d) T (dove D e` la massa di acqua sospesa, come goccioline, nell'aria, C il calore specifico dell'acqua)
• l'energia superficiale di queste goccie, 3 D/(d' R) T_S (dove d' e` la densita` dell'acqua, R e T_S sono il raggio e la tensione superficiale delle goccie)

Calore specifico dell'aria satura

All'interno della grotta l'aria si trova in genere in un ambiente tale da mantenerla satura di vapore, e una variazione di temperatura comporta una variazione della quantita` di vapore che puo` essere presente nell'aria. Dalla formula dell'entalpia si ottiene il calore specifico effettivo dell'aria satura

Per temperature introno a 0^oC risulta un calore specifico effettivo di circa 0.48 cal/gr ^oK.

Gradiente adiabatico umido

Un metro cubo d'aria che scende di 100 m trasforma l'energia potenziale dE = M g dZ = 1250 J. Dal bilancio energetico

risulta che l'aria umida ha un gradiente termico (adiabatico umido) di - 5.5 ^oC/Km circa. Questo valore corrisponde ad un gas con esponente politropico k=1.18. La seguente tabella riporta i gradienti termici dell'aria umida in dipendenza dalla quota e dalla temperatura.

La stabilita` dell'aria. Una massa d'aria secca se forzata a salire o scendere (per esempio quando va contro un rilievo) si muove in su e giu` in condizione adiabatiche. Pertanto si hanno condizionii di stabilita` (o instabilita`) atmosferica se il gradiente reale e` inferiore (o superiore) al gradiente termico adiabatico della massa d'aria in movimento. Se questa e` aria umida, il suo gradiente e` approssimativamente quello adiabatico secco finche` non si ha saturazione di vapore. Dopodiche` diventa il gradiente umido. Per cui, anche se inizialmente l'aria e` stabile, essa puo` divenire instabile se forzata in salita fino alla condensazione. Un esempio di questo fenomeno e` dato dai temporali in montagna.

7.G.6 L'acqua

Solubilita` dei gas in acqua

L'acqua ha anche un ruolo di equilibratore di atmosfere. Infatti i gas di una atmosfera a contatto con un bacino d'acqua si sciolgono in parte in essa secondo la legge di Henry

dove P e` la pressione parziale del gas nell'atmosfera sovrastante, C e` la concentrazione del gas in soluzione, e L e` un coefficiente (che varia con la temperatura, e il gas).

Pertanto se un bacino d'acqua collega due ambienti con atmosfere di differente composizione, i gas diffondono attraverso l'acqua tra i due ambienti fino a che non hanno la stessa composizione. In pratica questa diffusione avviene molto lentamente.

Il velo d'acqua sulle pareti

Consideriamo la fisica di uno strato d'acqua di spessore Y depositato su una parete inclinata di un angolo t. La componente lungo la parete delle forza di gravita`, per metro quadro, e` d g sin(t) (Y-y), mentre l'attrito viscoso e` u dv/dz. Eguagliando queste due forze si ottiene il profilo di velocita` (stazionario)

per cui la portata (flusso di massa), per metro di larghezza, e` (d<sup>2</sup> g sin(t) / 3 u) Y<sup>3</sup>, e la velocita` media v_M= d g sin(t) / (3 u) Y².

Considerando l'apporto d'acqua che condensa sul velo, si ha Q_evap dF_M/dz = (K/Y) DT, per cui il flusso risulta proporzionale alla potenza 3/4 dell'altezza, e lo spessore alla potenza 1/4 dell'altezza,

Dimensioni tipiche del velo d'acqua sono 10 micron, per cui v=0.1 mm/sec e F_M=10^-6 Kg/sec (cioe` 0.1 litri/die). Questo corrisponde ad un flusso di calore, Q = Q_evap F_M, pari a circa 60 Kcal/die per metro quadro che fluiscono alla roccia portate dall'acqua che condensa sul velo.

Altri aspetti non considerati:

• tensione superficiale, che limita il formarsi di un film troppo sottile; la superficie del velo richiede energia di formazione.
• interazione acqua-parete; all'interno del velo il calore diffonde verso la parete per conduzione
• rugosita` della parete; da una parte interrompono il film, dall'altra riducendone lo spessore rendono lo scambio di calore piu` efficiente [FIXME ???]

7.G.7 La circolazione dell'aria

I movimenti e le circolazioni dell'aria nella grotta sono indotti dalla sua interazione con l'ambiente esterno.

I processi che generano correnti d'aria sono:

• il riequilibrio secondo le variazioni di pressione esterna (correnti barometriche);
• la riorganizzazione dell'aria secondo la densita` (moti convettivi);
• il trascinamento da parte dell'acqua.

7.G.7.1 Circolazione convettiva

La circolazione convettiva e` generata dalle differenze di densita` dell'aria, fra l'interno della grotta e l'esterno. Se chiudessimo un ingresso della grotta queste indurrebbero una differenza di pressione (pressione motrice) fra i due lati della porta. In pratica questa pressione spinge l'aria a scorrere nella cavita` finche` gli attriti dovuti al moto (perdite di carico) non la controbilanciano esattamente.

Mentre il valore della pressione "interna" resta pressoche` costante, quella esterna varia nell'arco dell'anno, con variazioni stagionali, e nell'arco della giornata (variazioni diurne). In estate la pressione "interna" risulta superiore a quella "esterna" percio` l'aria esce dall'ingresso basso ed entra dall'ingresso alto. In inverno la circolazione avviene nel verso opposto e l'aria calda esca dall'ingresso alto. Per questo si osserva scioglimento di neve in corrispondenza degli ingressi alti. Nei periodi di inversione termica la direzione delle correnti convettive non e` ben definita e risulta variabile nell'arco della giornata.

Pressione motrice

La pressione motrice e` calcolabile come la differenza di peso delle colonne d'aria all'interno ed all'esterno della grotta. Ogni colonna produce una differenza di pressione esprimibile tramite la legge "adiabatica"

Percio` la pressione motrice (approssimata) risulta

dove abbiamo utilizzato l'"altezza" H_a = M_a g H / R. In questo discorso puo` sembrare che ci sia qualcosa di strano: la pressione e` una funzione di stato e sembra che se la misuro all'esterno ho una certa variazione fra ingresso alto e basso, mentre se la misuro all'interno ottengo un risultato differente ! In realta` non ho tenuto conto delle perdite di carico e delle perdite cinetiche: in condizioni statiche (con una porta chiusa su un ingresso) avrei effettivamente una differenza di pressione ai due lati della porta, pari alla "pressione motrice". In condizioni dinamiche, con l'aria in movimento, le cadute di pressione per perdite di carico (energia dissipata per vincere gli attriti) e per perdite cinetiche (energia trasformata in movimento dell'aria) controbilanciano la pressione motrice.

Notiamo che il calcolo della pressione motrice dovrebbe dare lo stesso risultato sia "chiudendo" l'ingresso alto, come sopra supposto, che quello basso. Usando l'approssimazione adiabatica si ottiene un risultato leggermente diverso:

Questa discrepanza (che in effetti e` piccola) e` dovuta ai limiti della approssimazione.

Resistenza (perdite di carico)

Quale modello delle cavita` aperte consideriamo una condotta di sezione uniforme A (diametro D) e lunghezza L. La pressione motrice eguaglia le perdite di carico e cinetiche

dove abbiamo evidenziato il flusso di massa F_M= d v A = d F. La seconda espressione vale per il moto nei condotti in regime turbolento. Questa relazione si puo` scrivere

dove R = d g F_R / F_M e` la resistenza della condotta, ed e` pari alla somma della resistenza di carico e della resistenza cinetica: R = R_c + R_k. Per il moto in regime turbolento e per curve e restringimenti la resistenza di carico risulta proporzionale al flusso,

dove

Da notare che la resistenza di una condotta e` tanto maggiore quanto piu` essa e` stretta, percio` sono le strettoie che costituiscono i punti in cui e` concentrata la resistenza.

Nel caso di moto in regime laminare la resistenza di carico risulta indipendente dal flusso. Pero` i flussi nelle grotte sono dominati dal regime turbolento (perche` e` quello che dissipa piu` energia).

La resistenza cinetica e` proporzionale al flusso,

Possiamo stimare il flusso d'aria nel sistema, a partire da questo risultato.

Per la resistenza cinetica il coefficiente vale c=0.38 Kg m. La pressione motrice vale P_M=34 Kg/m sec^{2 o}K dT. Percio`, con una differenza di temperatura di 5<sup>o</sup>C, il flusso risulta F<sub>M</sub>=6.6 Kg/sec, cioe` 5.14 m³/sec (in accordo col valore tipico).
In genere una cavita` non e` una condotta uniforme, ma ha restringimenti (strettoie) ed allargamenti (sale), e puo` presentare piu` vie alternative e parallele (almeno per l'aria). La relazione precedente unitamente alla "conservazione del flusso" (per cui i flussi sono "sovrapponibili") (v. figura: il flusso totale e` la somma dei flussi nel ramo "A" e nel ramo "B")

e alla "componibilita`" delle pressioni motrici (la pressione totale e` la somma delle due pressioni nel tratto "1" e nel tratto "2")

porta a sviluppare un semplice modellamento delle circolazioni dell'aria nelle cavita`:

• la resistenza di due condotte consecutive e` la somma delle loro due resistenze R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>;
• la resistenza di due condotte parallele e` data da R₁ R₂ / ( R₁ + R₂) ;
• la resistenza e` direttamente proporzionale alla lunghezza della condotta ma (quello che e` piu` importante) e` inversamente proporzionale al cubo delle sue dimensioni.
• le resistenze sono proporzionali ai flussi

Periodo di rinnovamento

Il periodo di rinnovamento e` il tempo che impiega la grotta a sostituire tutta l'aria in essa contenuta. Esso e` pari al rapporto fra il volume della grotta e il flusso d'aria,

Nelle cavita` ventilate varia da poco meno di un'ora ad una ventina di ore. Il tempo di rinnovamento varia con la stagione; e` piu` breve in estate che in inverno.

7.G.7.2 Correnti barometriche

Le correnti barometriche sono quelle indotte da repentine variazioni di pressione. Queste sono relativamente molto piccole. Le variazioni di pressione valgono tipicamente dP/P=10^-5 su tempi dell'ordine del minuto, e arrivano a massimi di 10^-3 su tempi dell'ordine di un'ora. Percio` le correnti barometriche sono piu` deboli di quelle convettive, e sono percepibili solo quando queste sono assenti (o quasi). [Oppure come deboli fluttuazioni di esse].

Le variazioni della pressione esterna si riflettono all'interno, con un ritardo (caratteristico dell'impedenza del sistema carsico) ed attenuate.

Capacita` e induttanza

La relazione fra pressione motrice, flusso e resistenza descrive la circolazione dell'aria in condizioni stazionarie (tipiche delle circolazioni convettive). Nelle situazioni non stazionarie bisogna tener conto anche di

• inerzia dell'aria: l'aria ha una massa e quindi una sua inerzia a mettersi in moto
• variazioni della pressione interna indotte dai flussi.

Consideriamo prima il secondo punto. Vediamo come varia la pressione di un salone a causa del flusso di aria entrante.

dove k e` l'esponente politropico. Se il flusso e` veloce siamo in condizioni adiabatiche, percio` k e` pari al coefficiente adiabatico (rapporto fra i calori specifici a pressione e a volume costante, che e` circa 1.4 per i gas biatomici come l'aria, e 1.33 per i gas triatomici come il vapor acqueo). Se il flusso e` lento siamo in condizioni isoterme, poiche` l'aria ha modo di portarsi in equilibrio termico con la roccia, percio` k=1. In generale possiamo scrivere

dove abbiamo introdotto la capacita`

La pressione e` come la tensione in un circuito elettrico, il flusso e` come la corrente. Un flusso entrante nel salone ne aumenta la pressione proporzionalmente alla sua "capacita`" di immagazzinare aria, e questa e` il rapporto fra il volume e la pressione, se la trasformazione e` isoterma. Se invece devo tener conto dell'aumento di temperatura la capacita` viene ridotta di un fattore k.

Per tener conto anche dell'inerzia dell'aria partiamo dalla equazione di Newton che scriviamo

dove abbiamo esplicitato le forze attive (pressione motrice) e quelle resistive (perdite di carico). La pressione motrice e` data da P_M = dP_est - dP_int . La caduta di pressione esterna varia nel tempo per cause esterne (arrivo di perturbazioni, variazioni giornaliere, etc.); lasciamo questa dipendenza temporale nel termine della pressione motrice. La caduta di pressione interna abbiamo appena visto che varia anche a causa dei flussi d'aria. Scriviamo questa variazione temporale a parte:

In conclusione otteniamo l'equazione della dinamica del flusso d'aria

Queste equazioni costituiscono la base per il modello "elettrico" della dinamica dell'aria nelle cavita`.

In pratica la differenza fra flusso di massa e flusso di volume e` molto piccola dato che la densita` varia poco. Percio` si possono scrivere queste formule in termini del flusso volumetrico che e` piu` facile da misurare (o stimare).

Tempo di risposta della cavita`

Quale modelli teorici consideriamo due tipi limite di cavita`: la cavita` a sfera (i saloni) e la cavita` a tubo (le gallerie). Nel primo caso l'equazione della dinamica dell'aria e` (nell'approssimazione di variazioni di pressione piccole: una decina di mbar rispetto a 1013 mbar)

Nel caso dell'arrivo di una veloce perturbazione le pressione esterna sale bruscamente da P_o a P₁. La soluzione e` allora

dove

La variazione di pressione si ripercuote all'interno con un ritardo, ma la pressione interna arriva comunque ad egualiare quella esterna in un tempo finito t = b/a, che rappresenta il tempo tipico con cui la cavita` risponde a variazioni di pressione esterna. Questo tempo risulta essenzialmente determinato dalle dimensioni fisiche della cavita`, t = L sqrt(L/D) [sec].

Una altra situazione di interesse per la speleologia e` quella di oscillazioni del flusso (correnti oscillanti) non sostente da alcuna pressione esterna (cioe` soluzioni della equazione omogenea associata). Queste oscillazioni sono possibili quando la resistenza e` piccola, ed hanno un periodo pari a circa sqrt(L C), quindi (avendo posto V=L A)

cioe` il periodo in secondi risulta all'incirca pari alla lunghezza della cavita` (galleria o salone) in metri. Il termine di resistenza e` dissipativo e comporta sempre uno smorzamento di queste oscillazioni. Possono essere iniziate da repentini cambiamenti della pressione esterna. Percio` sono osservabili sono in condizioni di assenza di altre correnti cioe` nella zona a quota intermedia e in ambienti ampi e facilmente accessibili all'aria. Oscillazioni della pressione esterna si comportano come una forza esterna nella equazione dinamica e quindi possono indurre queste oscillazioni quando hanno un periodo uguale o quasi al periodo proprio della cavita` (cioe` quando la cavita` va "in risonanza").

Consideriamo una grande sala di volume V, connessa con l'esterno da un condotto di area A e lunghezza L. Una raviazione di pressione induce un moto di aria, entrante o uscente, dP/dt = (RT/V) dN/dt e la quantita` di aria entrante e` dN/dt = (d/M) S v, dove d e` la densita` dell'aria, M la massa molare, e v la velocita`. L'equazione di Newton e` d dv/dt = - P / L, per cui si ottiene

Quindi la cavita` ha oscillazioni autosostenute con periodo

[FIXME: Il coefficiente risulta 78200, con S, V ed L in m; Cigna ha il valore 2930 ].

7.G.8 Evaporazione e condensazione

L'evaporazione superficiale e' data approssimativamente dalla relazione di Dalton,

dove T_vs e' la tensione di vapore saturo, T e' la tensione di vapore nell'aria, P la pressione, S la superficie, ed a e' un coefficiente che varia fra 400 (aria calma) e 650 (vento).

Il calore di evaporazione dell'acqua vale

Il calore di evaporazione totale (comprendente il calore per innalzare la temperatura da 0 a t gradi) e' 606.5 + 0.305 t.

Il passaggio dell'acqua da liquido a vapore e` una reazione chimica che raggiunge l'equilibrio quando l'umidita` assoluta e` massima. Per la stima dell'evaporazione sulla superficie di contatto acqua/aria si puo` usare la formula empirica di Lugeon,

dove tutte le tensioni di vapore e le pressioni sono espresse in pascal. Ricordo che 1 mbar = 100 pascal.

La velocita` di evaporazione dipende da

• area delle superfici bagnate
• umidita` relativa dell'aria (cioe quanto l'equilibrio e` spostato verso sinistra)
• flussi d'aria che allontanano le molecole evaporate
• temperatura (e pressione) dell'ambiente

La nebulizzazione

C'e` una relazione fra il raggio R di una goccia d'acqua e la velocita` limite di caduta in aria. Questa si ottiene egualiando la forza peso alla forza di attrito, 6 Pi R u V_L = (4 Pi/3) R³ d g, dove u=1.70 10^-5 N sec/m² e` la viscosita` dell'aria e d la densita` dell'acqua.

per esempio V_L=1 mm/sec per R=2.8 micron, ma vale 10 cm/sec per R=28 micron. Percio` goccie troppo grosse cadono subito al suolo e la dimensione tipica delle goccioline sospese e` un micron.

La densita` di goccie in una nebbia, con visibilita` di 100 m, e` di D = 0.01 - 0.1 gr/m<sup>3</sup>. La massa di una goccia da un micron e` circa 4 10^-12gr. Percio` ci sono 10<sup>9</sup> - 10<sup>10</sup> goccie per metro cubo. La superficie totale delle goccioline e` quindi 0.01 - 0.1 m² per metro cubo. Ogni goccia ha una energia, dovuta alla tensione superficiale del liquido, 4 Pi R² T_S. Percio` l'energia per metro cubo vale E=3 T_S D / R d che risulta circa 0.023 J.

La pressione di evaporazione in una goccia e` data dalla formula di Thompson

dove M e` la massa molecolare, e P<sub>vap</sub> e` la pressione di vapore nell'atmosfera. Il coefficiente di 1/R all'esponenziale e` molto piccolo (1.13 10<sup>-9</sup> m), percio` la pressione di evaporazione comincia ad essere significativamente superiore alla pressione di vapore per goccie di raggio inferiore a 0.1 micron. Dato che in tal caso una goccia tende ad evaporare, le goccie molto piccole (< 0.1 micron) sono instabili e tendono ad evaporare piu` facilmente di quelle grosse, rendendo l'aria sovrassatura e favorendo la condensazione sulle goccie grosse e sulle pareti. Una conseguenza e` che le goccie hanno bisogno di centri di condensazione (polveri, protuberanze di superfici, etc.) per formarsi. Le goccie si formano anche nei pressi di una cascata per nebulizzazione dell'acqua.

Quando una nebbia e` trasportata dall'aria umida nel suo moto, in salita la pressione diminuisce, quindi decresce anche la pressione di vapore e le goccie si accrescono per condensazione di vapore d'acqua. In discesa aumenta la pressione e le goccioline evaporano. Gli aerosol possono dunque avere un ruolo nel trasporto energetico all'interno della grotta. Calcoliamo l'energia immagazzinata in una nebbia nella tensione superficiale delle goccioline. Con 10<sup>10</sup> goccie per metro cubo, da un diametro medio di 1 micron, esse hanno una superficie totale di 0.1 m<sup>2</sup>. L'energie di tensione superficiale e` dunque 0.008 J (per metro cubo d'aria).
[FIXME COSA VUOL DIRE ?
0.75 KJ nei 10⁵ m³ d'aria della cavita`. E un flusso energetico di 0.04 J/sec, per i 5 m<sup>3</sup>/sec del flusso d'aria (l'aria ha una velocita` media di 4 cm/sec). Pero` questo flusso energetico interessa ogni punto della grotta.]

7.G.9 Il gradiente termico ipogeo

La temperatura nel sottosuolo cresce linearmente (gradiente geotermico) a causa del flusso di calore proveniente dal centro della terra. L'interno della terra emette un debole flusso di calore, Q_g = 59 KW/Km² = 14 Kcal/Km² sec, dovuto alla compressione gravitazionale che ha portato alla formazione del pianeta. Risolvendo l'equazione della conducibilita` termica otteniamo che la temperatura cresce con la profondita` con un gradiente di circa 30^oC/Km. Questo e` il motivo per cui le miniere in genere sono calde.

In un massiccio carsico, l'acqua penetra in profondita` e va ad intercettare il flusso geotermico prima che questi arrivi alla superficie. Con una piovosita` media annua di 1000 mm, si ha che questa acqua si riscalda di 0.45^oC. Percio` la roccia carsica e` molto meno affetta dal flusso geotermico e la temperatura delle grotte e` invece influenzata dai flussi (d'acqua e d'aria) che le attraversano.

Supponiamo di avere un massiccio carsico in cui penetra un flusso F d'acqua, con l'acquifero alla base del massiccio che intercetta quasi completamente in flusso di calore geotermico. Quindi ci sara` una differenza di temperatura di 0.45<sup>o</sup>C fra l'acqua che esce dalle risorgenze e quella che arriva ai sifoni. L'equazione degli scambi di calore (in condizioni stazionarie) e`

dove Q'_g e` il flusso geotermico residuo. Il primo termine e` l'energia potenziale gravitazionale dell'acqua che scende nel massiccio. A destra ci sono le capacita` termiche di acqua e roccia. Pertanto il gradiente termico risulta

cioe` ci sono due correzioni rispetto al gradiente termico idrico:

• il flusso geotermico residuo va ad aumentare il contributo energetico
• la capacita` termica della roccia, dato che questa deve portarsi alla temperatura dell'acqua

Questa analisi va bene per il reticolo delle fratture in cui l'acqua scorre lentamente e in contatto (anche termico) con la roccia. L'acqua libera dovrebbe avere un gradiente inferiore percio` risultare piu` fredda della roccia. [FIXME ??? SARA` VERO ?]

Il reticolo delle fratture

Le rocce calcaree risultano molto fessurate, tanto che si parla di "reticolo delle fratture", e l'acqua tende a riempire questo reticolo. Questo costituisce il principale deposito di acqua degli acquiferi carsici. Le condizioni termiche di questa zona sono dominate dalla presenza dell'acqua.

[FIXME FINIRE L'ANALISI DELLA ROCCIA+ACQUA]

Le pareti della grotta e l'acqua hanno una grande capacita` termica e stabilizzano termicamente l'aria. Gli scambi di calore dell'aria con le pareti e l'acqua sono abbastanza complessi: si ha conduzione di calore nello strato limite dell'aria a contatto con le pareti, e moti convettivi nell'aria. Inoltre l'evaporazione/condensazione sulle pareti e sui bacini d'acqua contribuisce notevolmente allo scambio di calore. Dato l'elevato valore dei coefficienti di convezione, l'aria diviene ben presto in equilibrio termico con l'ambiente, percio` si raggiunge una condizione di gradiente termico comune per acqua, pareti ed aria intermedio variabile da -3 a -4 ^oC/Km. Il gradiente termico interno (valor medio annuale dei gradienti termici) vale circa -3.5 ^oC/Km.

Solitamente il flusso termico globale tra esterno e grotta associato all'aria e` superiore a quello associato all'acqua, poiche` l'aria risulta avere maggiore mobilita` anche se ha una capacita` termica inferiore (circa 4000 volte) a parita` di volume.

7.G.10 Il bilancio energetico

La capacita` termica dell'aria in un grosso sistema (V = 10<sup>6</sup> m<sup>3</sup>, su un'area A = 10 Km<sup>2</sup>) risulta (il fattore 2.5 rende conto dell'umidita` presente nell'aria)

La capacita` termica dell'acqua nell'acquifero (tra falda e reticolo delle fratture ci sono circa 10<sup>9</sup> litri d'acqua) e`

Quella dell'acqua che scorre nelle gallerie (100 Km di gallerie, con in media 10 litri d'acqua al metro, per un totale di 10⁶ l; con un dislivello di 1000 m e una velocita` media di 0.1 m/sec impiega 3 ore ad arrivare alla falda, se la velocita` e` 1 cm/sec ci mette un giorno)

Quella dell'acqua sulle pareti (10⁶ m² di pareti, con gallerie di 1 m di diametro in media),

poiche` lo spessore del velo d'acqua vale circa 10^-4 m.

La capacita` termica dello strato "superficiale" di roccia dipende dalla scala dei tempi:

Percio` la capacita` termica del sistema e quindi la temperatura sono dominate da

• acqua ed aria nella grotta, per tempi inferiori al minuto
• roccia, per tempi superiori all'ora
• acqua presente nella falda

Prendiamo ora in analisi il bilancio termico di un sistema carsico. L'energia e` portata dai flussi d'acqua e d'aria. Assumiamo che la temperatura interna abbia un gradiente altimetrico G<sub>g</sub> e quella esterna un gradiente (dell'atmosfera standard) G<sub>a</sub>. Prendiamo ad esempio una cavita` con due ingressi, uno alto ed uno basso. Riferiamoci alla quota in cui la temperatura della grotta eguaglia la temperatura media annua esterna, T_o. Sia +z₁ la quota dell'ingresso alto, e -z₂ quella dell'ingresso basso.

Consideriamo gli apporti energetici dovuti ai flussi di aria ed acqua, distiguendo, per semplicita`, la circolazione in due momenti estivo ed invernale.

All'ingresso alto le temperature della grotta ed esterne (estate ed inverno) sono

All'ingresso basso si ha

Il flusso tipico di acqua vale (per kilometro quadro) F_w = 0.02 m³/sec . L'acqua puo` entrare a temperatura differente da quella ambiente, poiche` puo` immagazzinare energia assorbita dal calore solare (laghi, ruscellamenti, ...) prima di entrare nel sottosuolo. Questo corrisponde a circa 0.5<sup>o</sup>K in piu`, che ammontano ad un flusso addizionale di

Il flusso di calore ceduto alla grotta e` proporzionale alla differenza fra la temperatura di ingresso e quella di uscita (temperatura dell'acquifero). Questo flusso e` sempre negativo (dT risulta negativo), percio` l'acqua sottrae calore al sistema.

dove dT = (T_o - G_a z₁) - (T_o + G_g z₂) = - G_a z₁ - G_g z₂ .

Dobbiamo tener in conto anche l'apporto energetico per l'energia potenziale persa dall'acqua nella discesa.

Poi c'e` l'aria, che all'esterno, in estate, e` calda e poco umida ed entrando raffredda e anche se la sua umidita` divente del 100% perde vapore per condensazione, mentre in inverno e` fredda ed acquista vapore. Percio` si ha un flusso di calore verso il sistema in estate, e un assorbimento di calore dal sistema in inverno. In effetti bisogna considerare anche l'evapo/condensazione all'interno del sistema, percio` usare le temperatura dell'aria all'uscita. Supponiamo, per esempio, che l'umidita` dell'aria in ingresso sia del 50%.

Assumendo una legge lineare per il titolo di saturazione, un dislivello di 1000 metri (il risultato dipende poco dal dislivello), e una escursione termica annua di 30^o, si ha un flusso calorico netto verso il sistema dell'ordine di

Questo, come pure il flusso calorico addizionale dell'acqua, si fermano ben presto, nelle prime decine di metri di grotta, non oltre il punto in cui i due fluidi divengono in quasi-equilibrio termico con l'ambiente interno. Come fa questa energia a scendere lungo la grotta? Due modi possibili sono:

• come l'energia dell'acqua che scende: l'acqua assorbe calore e trasporta nel suo moto l'energia
• con il ciclo delle evaporazioni (energia fluisce nell'aria umida sotto forma di calore di evaporazione) e condensazioni (energia restituita dall'aria umida condensando il vapore), assieme al flusso d'aria; in questo caso l'energia viene scambiata soprattutto tra aria e roccia, tramite il velo d'acqua che la ricopre.

Il flusso d'aria contribuisce al bilancio energetico principalmente con la sua capacita` termica (effettiva, dato che si tratta di aria in grotta).

Percio` l'apporto calorico dovuto alla capacita` termica dell'aria risulta (un fattore 1/2 tiene conto della separazione di circolazione estiva ed invernale)

Quando consideriamo l'aria che scende nella grotta dobbiamo tener in conto anche dell'energia potenziale e del lavoro effettuato per muoverla, che viene dissipato negli attriti (perdite di carico). Assumendo che i flussi estivi ed invernali sono comparabili, i contributi dovuti all'energia potenziale si controbilanciano, percio` possiamo ignorarli. (Se i flussi non fossero uguali si avrebbe un contributo proporzionale al flusso netto pari a d g H DF_a).

Il contributo energetico delle perdite di carico e` dato dal prodotto della pressione motrice per il flusso. Si tratta sempre di un flusso energetico che entra nel sistema e dipende essenzialmente dalla escursione termica annua.

La reazione di dissoluzione della roccia calcarea assorbe energia,

L'acqua nivale entra praticamente senza CaCO₃, percio` e` molto aggressiva e puo` sciogliere la roccia. L'acqua che penetra calda, raffreddandosi diventa sottosatura di CO<sub>2</sub> e quindi aumenta la sua aggressivita`.

Con una dissoluzione di 1 m³/anno fanno 0.3 KJ/sec. Pertanto questo termine risulta un ordine di grandezza inferiore agli altri.

Mettendo assieme tutti i contributi il bilancio energetico deve risultare quasi nullo: assumendo una variazione di temperatura inferiore a 1^oC in 100 anni, con una capacita` termica del sistema dell'ordine 10<sup>9</sup> J/<sup>o</sup>K, il flusso netto di calore deve essere inferiore a 0.3 J/sec. Nell'ipotesi di un dislivello totale di un Km (z<sub>1</sub>+z<sub>2</sub>=1) si ha z<sub>2</sub> = 0.87 cioe` la temperatura in grotta e` uguale a quella media annua esterna poco sotto il suo ingresso alto.

Temperatura media della grotta

La temperatura media di una grotta dipende da

• quota dei suoi ingressi
• flussi (d'aria ed acqua) ad essi associati
• ??? niente altro ???

[FIXME SI POTREBBE FARE UN MODELLO DELLA DISTRIBUZIONE DELLE DIMENSIONI DELLE GALLERIE ?
Forse questo appartiene al capitolo sulla speleogenesi. Deve comunque tener in conto:

• flussi d'acqua
• dimensioni dei condotti: fenomeno di accrescimento dei condotti piu` grossi
• aggressivita` dell'acqua, e quindi potere aggressivo
• litologia, disposizione e tipologia degli strati, che influenzano il tipo di condotti
• effetti meccanici nei meccanismi di erosione

Altre osservazioni "sperimentali":

• la densita` dello scavo per dislivello e` costante, cioe` la quantita` di scavo e` indipendente dalla quota. Questo implica che non e` la sola acqua di infiltrazione che scava le grotte perche` essa diviene ben presto satura di CaCO<sub>3</sub>. Ci vuole altra acqua (di condensazione) la cui aggressivita` viene rinnovata.
• lo scavo e` piu` rapido nei punti piu` stretti: perche` questi favoriscono la condensazione
• lo scavo avviene lungo linee privilegiate di dimensioni uniformi lungo l'interno delle montagne.

Note aggiuntive.
La velocita` del suono in aria dipende dal grado di umidita` (q pari al rapporto fra massa di vapore a massa d'aria):

dove k_a e k_v sono i coefficienti adiabatici di aria e vapore (1.4 e 1.33, rispettivamente), m_a e m_v le masse molari di aria e vapore (28.9 e 18, rispettivamente) e R_a e` la costante dei gas divisa per la massa molare dell'aria.

Quindi

che differisce dal risultato ottenuto trascurando il vapore acqueo di circa 1%. La velocita` del suono (a temperatura ambiente) vale circa 380 m/sec.