Supponiamo che la corda sia tesa fra due armi a distanza L e formi
un angolo T0 con l'orizzontale.
Le equazioni dell'equilibrio statico relativa ad uno speleologo attaccato
al punto a distanza X dall'armo di sinistra (misurato lungo la
corda quando e` libera) sono:
F1 sin(T1) +
F2 sin(T2) = F
F1 cos(T1) =
F2 cos(T2)
F X cos(T0) =
F2 L sin(T2) cos(T0)
+ F2 cos(T2) L
sin(T0)
dove F e` la forza (verso il basso) dovuta al peso dello speleologo.
Aggiungendo le condizioni sulla tensione della corda (E e` il
coefficiente di elasticita` della corda),
Y cos(T1) = X cos(T0)
Z cos(T2) = (L-X) cos(T0)
Y = Yo E F1
Z = Zo E F2
Yo + Zo = Lo
per cui si ha
(9) Y/F1 + Z/F2 = L/T
dove T e` la tensine della corda (senza lo speleologo appeso).
Lavorando sulla equazione (9), usando la (4) e la (2), si ottengono
F1 = T cos(T0)/cos(T1)
F2 = T cos(T0)/cos(T2)
e con la (1),
(12)
F = T cos(T0) [ tan(T1) + tan(T2) ]
La (3) fornisce una relazione fra Ti e Fi.
Da queste si ricavano
tan(T1)
= F/T (L-X)/L 1/cos(T0) + tan(T0)
tan(T2)
= F/T X/L 1/cos(T0) + tan(T0)
Finalmente possiamo scrivere l'espressione delle forze che agiscono sugli
armi in funzione delle variabili note (distanza fra gli armi L,
e dislivello T0, tensione della corda T,
peso dello speleologo F, e sua posizione X),
F1 =
SQRT[ T2 + 2 T F (L-X)/L sin(T0) +
F2 {(L-X)/L}2 ]
F2 =
SQRT[ T2 - 2 T F X/L sin(T0) +
F2 {X/L}2 ]
Da queste si vede che in ogni caso
(17) Fi < T + F
Tuttavia la teleferica e` efficace se l'angolo che si forma, quando lo
speleologo si appende non e` troppo grande, cioe` se non diventa un scendere
e risalire da un pozzo. Dunque valutiamo anche la condizione per cui
la corda resta "abbastanza tesa".
Con un poco di altra algebra si trova
da questa relazione si vede che affinche` l'angolo formato dalla corda
sotto il peso dello speleologo sia inferiore ad un valore fissato piccolo,
eps, e` necessario che
(19) T > F / (2 eps)
In pratica se vogliamo un angolo non superiore a 10 gradi, la tensione
dovra` essere quasi tre volte il peso dello speleologo, quindi gli
armi dovranno sostenere una forza pari a quattro volte il peso dello
speleologo.
Da prove pratiche la tensione sugli ancoraggi, durante il tensionamento
arriva a 600 daN. Dopo si hanno tensioni di 120 - 200 daN.
Quando lo speleologo si appende questa cresce del 80 - 120 %.
4.C.2 Fisica della caduta su un traverso
Consideriamo le forze in giuoco quando si cade su un tratto di traverso.
Supponiamo, per semplicita`, che i due punti di ancoraggio sono
alla stessa altezza.
Con una caduta di lunghezza H la velocita` nel momento in cui
si tende la corda e` V = sqrt( 2 g H ) (e diretta verticalmente
perlopiu`). Essa e` anche la velocita` con cui viene sollecitata
la corda; puo` essere scomposta in due componenti lungo i due pezzi
di corda V1 nella direzione L1 e
V2 nella direzione L2.
Risulta
V1 = V cos(t2) / sin(t1 + t2)
V2 = V cos(t1) / sin(t1 + t2)
Percio` l'energia dissipata su ciancun pezzo di corda
(scriviamo solo la formula per il primo)
E1 = M g H cos2(t2) /
sin2( t1 + t2 )
e la forza massima sull'armo
F1,max = sqrt(2 M g H / X L1)
cos(t2) /
sin( t1 + t2 )
= sqrt( 2 M g / X)
sqrt( sin(t1) / sin( t1 + t2 ) )
cos(t2)
dove X e` l'elasticita` della corda.
La formula nella seconda riga si riferisce ad una caduta dalla quota
della corda (come in figura).
In questo caso si vede che la forza massima su ciascun armo e`
comunque inferiore a sqrt( 2 M g / X ) cioe` quella
di una caduta a fattore di caduta 1.
4.C.3 Stima della profondita` di un pozzo
Il tempo di caduta di un sasso da` anche una stima approssimata della
profondita` del pozzo.
Nella
Sez. 4.1
abbiamo riportato la formula approssimata
valida per stimare la profondita` dei pozzi compresi tra 25 e 100 metri,
P [metri] = 25 t [sec] - 40
La velocita` di caduta del sasso cresce per l'accelerazione di gravita`
G
ma e` contrastata dal frenaggio dovuto all'aria, che e` proporzionale
alla velocita` stessa: -a v.
Per la legge di Stokes il coefficiente a e` proporzionale
alla viscosita` dell'aria (circa u =
2 10-5 N/sec m2)
e a caratteristiche geometriche del corpo in caduta.
Per una stima qualitativa possiamo prendere il valore teorico per un
oggetto sferico (6 Pi R, dove R e` il raggio).
Quindi a risulta (dobbiamo dividere per la massa del sasso, dato
che consideriamo accelerazioni invece di forze)
6 Pi R u / (4/3 Pi R3 d), che a conti fatti
e` dell'ordine di 0.1, per un sasso di 5 cm di diametro.
Un valore accettabile e` a=0.25 Hz.
Ne risulta che lo spazio di caduta e`
x = (g/a) (t - (1-e-a t)/a )
dove t e` il tempo di caduta (v. figura, linea tratteggiata).
Al tempo di caduta t bisognerebbe aggiungere quello che il suono
impiega a ritornare t' = x/vs, ma questo e` una frazione
di secondo (la velocita` del suono e` circa 331 m/sec a 1 atm e
0oC),
e puo` essere trascurato in una valutazione
approssimativa. In figura la linea continua tiene conto anche del
ritardo di ritorno del suono.
4.C.4 Fisica dell'armo doppio
In un armo doppio (cioe` a "Y") l'angolo fra le due gasse deve
essere inferiore ai due angoli che la corda forma con esse.
In questa condizione la fiorza su ognuno dei due punti d'ancoraggio
e` inferiore alla tensione della corda.
Dal diagramma delle forza (v. figura a sinistra) la forza sull'ancoraggio
numero "1" risulta
F1 = ( F / cos(b) ) 1/(tan(b) + tan(c))
Se imponiamo che questa sia inferiore a F si ha che deve
essere
b > Pi/2 - 2 c
Similmente considerando la forza sull'ancoraggio numero "2" deve
essere c > Pi/2 - 2 b .
Queste due condizioni corrispondono all'area tratteggiata nel
diagramma a destra).
E` facile vedere che queste due condizioni sono equivalenti a dire che
l'angolo A e` inferiore sia a B che a C.
Consideriamo le forze in giuoco quando si cade su un tratto di traverso.
Supponiamo, per semplicita`, che i due punti di ancoraggio sono
alla stessa altezza.
Con una caduta di lunghezza H la velocita` nel momento in cui
si tende la corda e` V = sqrt( 2 g H ) (e diretta verticalmente
perlopiu`). Essa e` anche la velocita` con cui viene sollecitata
la corda; puo` essere scomposta in due componenti lungo i due pezzi
di corda V1 nella direzione L1 e
V2 nella direzione L2.
La velocita` di caduta del sasso cresce per l'accelerazione di gravita`
G
ma e` contrastata dal frenaggio dovuto all'aria, che e` proporzionale
alla velocita` stessa: -a v.
Per la legge di Stokes il coefficiente a e` proporzionale
alla viscosita` dell'aria (circa u =
2 10-5 N/sec m2)
e a caratteristiche geometriche del corpo in caduta.
Per una stima qualitativa possiamo prendere il valore teorico per un
oggetto sferico (6 Pi R, dove R e` il raggio).
Quindi a risulta (dobbiamo dividere per la massa del sasso, dato
che consideriamo accelerazioni invece di forze)
6 Pi R u / (4/3 Pi R3 d), che a conti fatti
e` dell'ordine di 0.1, per un sasso di 5 cm di diametro.
Un valore accettabile e` a=0.25 Hz.
Dal diagramma delle forza (v. figura a sinistra) la forza sull'ancoraggio
numero "1" risulta