Plasticità. Tipologia analisi.

Elasticità, plasticità, duttilità.

In relazione al loro comportamento meccanico i materiali da costruzione possono essere classificati come:

ü materiali elasto-fragili

ü materiali elasto-plastici

Per i materiali elasto-fragili è valida la legge di Hooke

che esprime la diretta proporzionalità tra tensioni e deformazioni tramite il modulo elastico E (modulo di Young). Il diagramma tensioni-deformazioni è rappresentato da una retta.

Diagramma per un materiale elasto-fragile (vetro, legno).

Per i materiali elasto-plastici la legge di Hooke è valida solo fino ad un determinato valore di tensione s_y. Successivamente il materiale si plasticizza e le deformazioni proseguono con tensione costante.

Diagramma di calcolo per l’acciaio.

Alla prima categoria appartengono il vetro ed il legno, alla seconda l’acciaio, il calcestruzzo e l’allumino (anche se per quest’ultimi il primo tratto del diagramma non è lineare).

Diagramma di calcolo per il cls.

Il collasso di una struttura costituita da materiale fragile è improvvisa; una struttura in materiale plastico, invece, si deforma molto prima della rottura consentendo la messa in sicurezza delle persone.

Quanto maggiore è l’allungamento a tensione costante tanto più il materiale viene definito duttile.

Di conseguenza l’acciaio è un materiale duttile il calcestruzzo lo è in misura ridotta, il vetro e il legno sono materiali fragili.

Nel caso di materiali compositi come il cemento armato la duttilità dipende dal materiale che raggiunge prima il collasso: sezioni debolmente armate nelle quali lo snervamento dell’acciaio precede la crisi del calcestruzzo sono pertanto più duttili di sezioni fortemente armate per le quali la rottura è più rapida essendo governata dal comportamento del calcestruzzo. La duttilità è una caratteristica essenziale particolarmente per le strutture in zona sismica.

Il principio della “Gerarchia delle resistenze” applicato, ad esempio, al collegamento trave pilastro comporta un’analisi della duttilità dei due elementi per garantire la formazione delle cerniere plastiche prima nella trave e solo in seguito nei pilastri. Le travi, più duttili, devono consentire la dissipazione di una notevole quantità di energia, limitando il rischio di rottura fragile dei pilastri.

Il comportamento elastico, elasto-plastico e plastico delle sezioni.

In relazioni al livello di deformazioni impresse una sezione costituita da materiale elasto-plastico può assumere diversi comportamenti:

comportamento elastico

comportamento elasto-plastico

comportamento plastico

Per una sezione in acciaio, il momento plastico sopportabile dalla sezione vale

quello elastico è dato da

Il rapporto tra i due momenti (fattore di forma) vale

Per una sezione rettangolare è

, ,

Per altre sezioni è

	Tipo di sezione	Fattore di forma
		1,14
		1,27
		1,50
		1,70
		2,00
		2,37

La cerniera plastica.

Tra i vincoli classici costituiti dalla cerniera (vincolo che consente una libera rotazione) e l’incastro (vincolo che non consente rotazioni) è possibile definire un vincolo intermedio definito cerniera plastica.

Si supponga di unire due elementi di acciaio tramite un bullone.

Se la coppia di serraggio del bullone è sufficientemente elevata la rotazione reciproca tra i due elementi risulterà impedita ed il vincolo reciproco sarà quello dell’incastro.

Se, al contrario, la coppia di serraggio è modesta il vincolo si comporterà come un incastro fino a che non saranno vinte le forze d’attrito generate dal bullone; oltre, la rotazione diventerà possibile ed il vincolo sarà equivalente ad una cerniera.

Può definirsi allora cerniera plastica un incastro, interno o esterno, che consente la rotazione solo per momenti superiori ad un valore prefissato.

Comportamento plastico dell’elemento strutturale e della struttura completa.

Se la struttura è isostatica ed è composta da un unico elemento strutturale il suo comportamento plastico coincide con quello della sezione più sollecitata.

Nell’esempio in figura il momento massimo della sezione si ha in campata. Al crescere del carico si raggiunge il momento massimo plastico nel punto C e la struttura si trasforma in un meccanismo labile con la creazione di una cerniera plastica nella stessa sezione. Il carico massimo sopportabile dalla struttura coincide con quello che genera la plasticizzazione nella sezione C.

Se la struttura è iperstatica ed è composta da un unico elemento strutturale il suo comportamento plastico non coincide più con quello della sezione più sollecitata e ciò comporta un aumento del carico massimo sopportabile.

Nell’esempio in figura il momento massimo della sezione si ha in corrispondenza dei due incastri laterali. Al crescere del carico si raggiunge il momento massimo plastico nei punti A e B con una conseguente formazione di cerniere plastiche in tali punti. Aumentando ancora il carico si crea un’ulteriore cerniera plastica in C e la struttura si trasforma in un meccanismo labile. Il carico massimo sopportabile dalla struttura coincide con quello che genera la plasticizzazione nella sezione C che è maggiore di quello corrispondente ai momenti in corrispondenza degli incastri.

Un comportamento strutturale plastico della struttura completa può verificarsi anche con il legno: poiché il materiale è elasto-fragile e non può dare origine a plasticizzazioni, la formazione delle cerniere plastiche può avvenire solo in presenza di collegamenti duttili.

La plasticizzazione delle travi iperstatiche.

Le travi iperstatiche possono trasformarsi in meccanismi labili in seguito alla formazione di un numero adeguato di cerniere plastiche. La labilità può riguardare singoli elementi della trave (plasticità locale) o la trave nel suo complesso plasticità globale).

La formazione della cerniera plastica in B della trave in figura compromette la stabilità del solo sbalzo.

Nella trave seguente la formazione progressiva delle cerniere plastiche in A e in C porta la trave alla plasticità globale.

Per la trave continua, da un punto di vista quantitativo, il numero delle cerniere plastiche deve risultare pari al numero delle iperstatiche sommato a quello delle campate.

Per la plasticizzazione totale della trave in figura è necessaria la formazione di 3 cerniere plastiche sugli appoggi centrali e di quattro cerniere plastiche nelle campate.

I teoremi della plasticità.

Secondo il teorema di Melan, teorema statico o del limite inferiore (lower bound), un insieme di carichi staticamente ammissibile per i quali non sia superato il momento plastico sopportabile da una struttura è minore o al limite uguale all’effettivo carico limite.

Secondo il teorema di Koiter, teorema cinematico o del limite superiore (upper bound), un insieme di carichi al quale corrisponda un meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile è maggiore o al limite uguale all’effettivo carico limite.

Ne consegue che:

ü il carico limite sopportabile da una struttura è compreso tra quello determinato con il metodo statico e quello determinato con il metodo dinamico:

ü se i due carichi estremi coincidono il loro valore coincide con quello del carico limite:

I metodi di analisi previsti dalla Norme Tecniche.

Per l’acciaio le Norme Tecniche consentono l’uso dei seguenti metodi di analisi strutturale:

Metodo di analisi globale	Metodo di calcolo della capacità resistente della sezione	Tipo di sezione
Elastico	Elastico	tutte (*)
Elastico	Plastico	compatte (classi 1 e 2)
Elastico	Elasto-plastico	tutte (*)
Plastico	Plastico	compatte di classe 1
Elasto-plastico	Elasto-plastico	tutte (*)
(*) per le sezioni di classe 4 la capacità resistente può essere calcolata con riferimento alla sezione efficace.

La suddivisione delle sezioni in quattro classi consente di evitare fenomeni di instabilità delle sezioni al momento della plasticizzazione. Le classi sono indicate nei sagomari dei produttori.

Per il cemento armato i metodi previsti sono:

ü analisi elastica lineare (con o senza ridistribuzione dei momenti)

ü analisi plastica

ü analisi non lineare

Per il legno l’analisi della struttura si può effettuare assumendo un comportamento elastico lineare dei materiali e dei collegamenti. Per quelle tipologie strutturali in grado di ridistribuire le azioni interne, anche grazie alla presenza di giunti di adeguata duttilità, si può far uso di metodi di analisi non lineari.

L’analisi elastica con ridistribuzione dei momenti.

Quando il momento M_B della trave in figura supera il limite elastico, si genera una rotazione della sezione alla quale è associato un momento DM.

DM ha lo stesso verso della rotazione ed è quindi di segno opposto rispetto ad M_B.

Il risultato è una riduzione del momento sull’appoggio B

ed un aumento del momento di campata il cui massimo si sposta verso l’appoggio centrale.

L’effetto globale è quello di una più uniforme distribuzione dei momenti lungo la trave.

L’analisi non lineare.

Vengono analizzate le tre fasi principali che caratterizzano il comportamento della struttura:

ü fase elastica fino al raggiungimento della fessurazione

ü fase fessurata: fino allo snervamento dell’acciaio

fase plastica: fino alla rottura