In
relazione al loro comportamento meccanico i materiali da costruzione possono
essere classificati come:
ü materiali elasto-fragili
ü materiali elasto-plastici
Per
i materiali elasto-fragili è valida la
legge di Hooke
che
esprime la diretta proporzionalità tra tensioni e deformazioni tramite il
modulo elastico E (modulo di Young). Il diagramma tensioni-deformazioni è
rappresentato da una retta.
Diagramma per un materiale elasto-fragile
(vetro, legno).
Per
i materiali elasto-plastici la legge di
Hooke è valida solo fino ad un determinato valore di tensione sy. Successivamente il materiale si
plasticizza e le deformazioni proseguono con tensione costante.
Diagramma di calcolo per l’acciaio.
Alla
prima categoria appartengono il vetro ed il legno, alla seconda l’acciaio, il
calcestruzzo e l’allumino (anche se per quest’ultimi il primo tratto del
diagramma non è lineare).
Diagramma di calcolo per il cls.
Il
collasso di una struttura costituita da materiale fragile è improvvisa; una
struttura in materiale plastico, invece, si deforma molto prima della rottura
consentendo la messa in sicurezza delle persone.
Quanto
maggiore è l’allungamento a tensione costante tanto più il materiale viene
definito duttile.
Di
conseguenza l’acciaio è un materiale duttile il calcestruzzo lo è in misura
ridotta, il vetro e il legno sono materiali fragili.
Nel
caso di materiali compositi come il cemento armato la duttilità dipende dal materiale
che raggiunge prima il collasso: sezioni
debolmente armate nelle quali lo snervamento dell’acciaio precede la crisi del
calcestruzzo sono pertanto più duttili di sezioni fortemente armate per le quali la rottura è più rapida essendo governata
dal comportamento del calcestruzzo. La duttilità è una caratteristica
essenziale particolarmente per le strutture in zona sismica.
|
Il
principio della “Gerarchia delle resistenze” applicato, ad esempio, al
collegamento trave pilastro comporta un’analisi della duttilità dei due
elementi per garantire la formazione delle cerniere plastiche prima nella
trave e solo in seguito nei pilastri. Le travi, più duttili, devono consentire
la dissipazione di una notevole quantità di energia, limitando il rischio di
rottura fragile dei pilastri. |
In
relazioni al livello di deformazioni impresse una sezione costituita da
materiale elasto-plastico può assumere diversi comportamenti:
comportamento elastico |
|
comportamento elasto-plastico |
|
comportamento plastico |
|
Per
una sezione in acciaio, il momento plastico sopportabile dalla sezione vale
quello
elastico è dato da
Il
rapporto tra i due momenti (fattore di forma) vale
Per una sezione
rettangolare è
, ,
Per altre sezioni
è
|
Tipo di sezione |
Fattore di forma |
|
1,14 |
|
|
1,27 |
|
|
1,50 |
|
|
1,70 |
|
|
2,00 |
|
|
2,37 |
Tra
i vincoli classici costituiti dalla cerniera (vincolo che consente una libera
rotazione) e l’incastro (vincolo che non consente rotazioni) è possibile
definire un vincolo intermedio definito cerniera plastica.
Si
supponga di unire due elementi di acciaio tramite un bullone.
Se
la coppia di serraggio del bullone è sufficientemente elevata la rotazione
reciproca tra i due elementi risulterà impedita ed il vincolo reciproco sarà
quello dell’incastro.
Se,
al contrario, la coppia di serraggio è modesta il vincolo si comporterà come un
incastro fino a che non saranno vinte le forze d’attrito generate dal bullone;
oltre, la rotazione diventerà possibile ed il vincolo sarà equivalente ad una
cerniera.
Può
definirsi allora cerniera plastica un incastro, interno o esterno, che consente
la rotazione solo per momenti superiori ad un valore prefissato.
Se
la struttura è isostatica ed è composta da un unico elemento strutturale il suo
comportamento plastico coincide con quello della sezione più sollecitata.
|
Nell’esempio
in figura il momento massimo della sezione si ha in campata. Al crescere del
carico si raggiunge il momento massimo plastico nel punto C e la struttura si
trasforma in un meccanismo labile con la creazione di una cerniera plastica
nella stessa sezione. Il carico massimo sopportabile dalla struttura coincide
con quello che genera la plasticizzazione nella sezione C. |
Se
la struttura è iperstatica ed è composta da un unico elemento strutturale il
suo comportamento plastico non coincide più con quello della sezione più
sollecitata e ciò comporta un aumento del carico massimo sopportabile.
|
Nell’esempio
in figura il momento massimo della sezione si ha in corrispondenza dei due
incastri laterali. Al crescere del carico si raggiunge il momento massimo
plastico nei punti A e B con una conseguente formazione di cerniere plastiche
in tali punti. Aumentando ancora il carico si crea un’ulteriore cerniera
plastica in C e la struttura si trasforma in un meccanismo labile. Il carico
massimo sopportabile dalla struttura coincide con quello che genera la
plasticizzazione nella sezione C che è maggiore di quello corrispondente ai
momenti in corrispondenza degli incastri. |
|
Un
comportamento strutturale plastico della struttura completa può verificarsi
anche con il legno: poiché il
materiale è elasto-fragile e non può dare origine a plasticizzazioni, la
formazione delle cerniere plastiche può avvenire solo in presenza di
collegamenti duttili. |
Le
travi iperstatiche possono trasformarsi in meccanismi labili in seguito alla
formazione di un numero adeguato di cerniere plastiche. La labilità può
riguardare singoli elementi della trave (plasticità locale) o la trave nel suo
complesso plasticità globale).
|
La
formazione della cerniera plastica in B della trave in figura compromette la
stabilità del solo sbalzo. Nella
trave seguente la formazione progressiva delle cerniere plastiche in A e in C
porta la trave alla plasticità globale. |
Per
la trave continua, da un punto di vista quantitativo, il numero delle cerniere
plastiche deve risultare pari al numero delle iperstatiche sommato a quello
delle campate.
|
Per
la plasticizzazione totale della trave in figura è necessaria la formazione
di 3 cerniere plastiche sugli appoggi centrali e di quattro cerniere
plastiche nelle campate. |
Secondo
il teorema di Melan, teorema statico o del limite inferiore (lower bound), un
insieme di carichi staticamente ammissibile per i quali non sia superato il
momento plastico sopportabile da una struttura è minore o al limite uguale all’effettivo
carico limite.
Secondo
il teorema di Koiter, teorema cinematico o del limite superiore (upper bound),
un insieme di carichi al quale corrisponda un meccanismo di collasso
cinematicamente ammissibile è maggiore o al limite uguale all’effettivo carico
limite.
Ne
consegue che:
ü il carico limite sopportabile da una
struttura è compreso tra quello determinato con il metodo statico e quello
determinato con il metodo dinamico:
ü se i due carichi estremi coincidono il loro
valore coincide con quello del carico limite:
Per
l’acciaio le Norme Tecniche consentono l’uso dei seguenti metodi di analisi
strutturale:
Metodo di analisi globale |
Metodo di calcolo della
capacità resistente della sezione |
Tipo di sezione |
Elastico |
Elastico |
tutte (*)
|
Elastico |
Plastico |
compatte (classi 1 e 2) |
Elastico |
Elasto-plastico |
tutte (*)
|
Plastico |
Plastico |
compatte di classe 1 |
Elasto-plastico |
Elasto-plastico |
tutte (*)
|
(*) per le sezioni di classe 4 la capacità
resistente può essere calcolata con riferimento alla sezione efficace. |
La
suddivisione delle sezioni in quattro classi consente di evitare fenomeni di
instabilità delle sezioni al momento della plasticizzazione. Le classi sono
indicate nei sagomari dei produttori.
Per
il cemento armato i metodi previsti sono:
ü analisi elastica lineare (con o senza
ridistribuzione dei momenti)
ü analisi plastica
ü analisi non lineare
Per
il legno l’analisi della struttura si può effettuare assumendo un comportamento
elastico lineare dei materiali e dei collegamenti. Per quelle tipologie
strutturali in grado di ridistribuire le azioni interne, anche grazie alla
presenza di giunti di adeguata duttilità, si può far uso di metodi di analisi
non lineari.
|
L’analisi elastica con ridistribuzione
dei momenti. Quando
il momento MB della trave in figura supera il limite elastico, si
genera una rotazione della sezione alla quale è associato un momento DM. DM ha lo stesso verso della rotazione ed è
quindi di segno opposto rispetto ad MB. Il
risultato è una riduzione del momento sull’appoggio B ed
un aumento del momento di campata il cui massimo si sposta verso l’appoggio
centrale. L’effetto globale è quello di una più
uniforme distribuzione dei momenti lungo la trave. |
|
L’analisi non lineare. Vengono
analizzate le tre fasi principali che caratterizzano il comportamento della
struttura: ü
fase
elastica fino al raggiungimento della
fessurazione ü
fase
fessurata: fino allo snervamento dell’acciaio fase plastica: fino alla rottura |