Analisi elastica con ridistribuzioni ed analisi plastica. Cemento armato.

 

Per il calcolo delle strutture in c.a. le Norme Tecniche consentono tre diversi approcci analitici:

Ø  analisi elastica (con o senza ridistribuzioni dei momenti)

Ø  analisi plastica

Ø  analisi non lineare

Le caratteristiche dei diversi tipi di analisi sono riassunte sinteticamente nel quadro seguente nel quale sono presenti le integrazioni contenute nell’Eurocodice 2 in assenza di indicazioni della norma nazionale.

 

I riferimenti alle grandezze adimensionali  e  sono relativi al campo di deformazione 3 del diagramma di Rüsch.

Le limitazioni ai valori della profondità x dell’asse neutro sono motivate dalla necessità di disporre di una sezione di media o elevata duttilità; al crescere dell’estensione della zona compressa, infatti, si ha un aumento di armatura insieme ad una deformazione unitaria e sempre più vicina al limite plastico con conseguente riduzione della duttilità.

 

Per meglio chiarire le modalità di calcolo si farà nel seguito riferimento ad una trave a due campate con luci costanti.

Analisi elastica.

Per il calcolo del momento sull’appoggio centrale la configurazione di carico è costituita dal carico g₁ ed il carico q presenti su entrambe le campate.

Si ha

nella quale, applicando la formula di correlazione agli SLU, è

 

 

Per il calcolo del momento di campata la configurazione di carico è costituita dal carico g₁ presente su entrambe le campate ed il carico q collocato solo sulla campata di sinistra.

Combinando l’azione del peso permanente g₁ a quella del carico variabile q si ottiene

Analisi elastica con ridistribuzione dei momenti.

Il momento M_B genera il superamento del limite elastico, provocando una quota aggiuntiva di rotazione della sezione alla quale è associato un momento DM.

DM ha lo stesso verso della rotazione aggiuntiva ed è quindi di segno opposto rispetto ad M_B.

 

Il risultato è una riduzione del momento sull’appoggio B

ed un aumento del momento di campata il cui massimo si sposta verso l’appoggio centrale.

DM dipende dalla capacità rotazionale della sezione ovvero dalla sua duttilità e quindi dalla profondità della zona compressa x.

Le Norme Tecniche consentono il ricorso ad un momento ridotto pari a

nella quale è

 con un minimo pari a

In altri termini è possibile ridurre il momento fino al 30%.

Imponendo

si ottiene

al quale corrisponde

Come limite inferiore (nessuna riduzione del momento) si ha

per

al quale corrisponde

 

 

 

Procedura di progetto:

1)    si predimensiona la sezione di calcestruzzo.

2)    si fissa il coefficiente di ridistribuzione e da esso si ricava

3)    si progetta l’armatura a sezione obbligata. Se nella tabella del cemento armato al coefficiente corrisponde si ricorre al calcolo a doppia armatura per rimanere nei limiti fissati.

 

 

 

 

 

 

 

Analisi plastica.

E’ un metodo di analisi utilizzato per la ricerca del carico massimo sopportabile dalla struttura più che per il suo progetto.

La sezione sull’appoggio centrale e quelle di campata sono in grado di sopportare rispettivamente un momento massimo M_Rd,B e M_Rd,D = M_Rd,E. Se sono munite della stessa armatura si ha M_Rd,B = M_Rd,D = M_Rd,E.

 

Al crescere del carico q sulla struttura il momento elastico M_B raggiunge il valore massimo sopportabile  M_Rd,B e la  sezione assume un comportamento plastico con la trasformazione dell’incastro interno in una cerniera plastica.

Aumentando ancora il carico q la rotazione nel punto B aumenta ulteriormente ed i momenti  M_D ed M_E crescono anch’essi fino a raggiungere il loro valore massimo M_Rd,D trasformando ancora l’incastro interno in cerniera plastica.

La struttura assume la forma di un meccanismo che anche un piccolissimo ulteriore aumento del carico q porterebbe in movimento.

 

Raggiunto il meccanismo le due campate AB e CD hanno lo stesso comportamento plastico di una trave con appoggio e incastro per la quale è (sezioni in B, D ed E aventi la stessa armatura)

In campata per  si ha

Per l’equilibrio verticale del tratto AD si ha

Il taglio nella sezione alla sinistra di B vale

Per garantire la formazione della cerniera plastica la sezione deve risultare molto duttile. Tale obiettivo è raggiunto per valori

() (cls fino a C50/60)

() (cls fino a C50/60)

Devono poi essere verificate le seguenti condizioni:

ü  acciaio a media o alta duttilità (tipo B e C)

ü  rapporto tra luci contigue compreso tra 0,5 e 2

Nel caso di mancata soddisfazione anche di una sola delle condizioni precedenti l’EC2 richiede una verifica diretta della capacità rotazionale della sezione.

In pratica:

1)    si ricava la posizione dell’asse neutro calcolando la distanza x

2)    si calcola la curvatura della trave con l’espressione

3)    si determina la rotazione plastica relativa al tratto di trave a cavallo dell’appoggio centrale di lunghezza pari a 1,2 h con l’espressione (valore espresso in milliradianti)

4)    si verifica che la validità della disuguaglianza attraverso il grafico di riferimento

 

Analisi non lineare.

Vengono analizzate le tre fasi principali che caratterizzano il comportamento della struttura:

ü  fase elastica fino al raggiungimento della fessurazione

ü  fase fessurata: fino allo snervamento dell’acciaio

ü  fase plastica: fino alla rottura

L’analisi non lineare è un metodo più approfondito di indagine rispetto a quelli esaminati in precedenza ed i suoi risultati sono validi in presenza di azioni sia statiche sia dinamiche.

Origina un diagramma trilineare (deformazioni non più direttamente proporzionali alle sollecitazioni) tra momenti e rotazioni.

 

Al termine della fase elastica il calcestruzzo, inizialmente interamente reagente, raggiunge in corrispondenza del bordo teso la sua resistenza a trazione dando inizio così al fenomeno della fessurazione.

Per il calcolo del momento di fessurazione si considera una sezione inferiore tesa costituita dalle armature e da un’area di calcestruzzo in trazione di altezza efficace pari ad h_c,eff ed un’area superiore compressa di calcestruzzo.

Come altezza dell’area efficace si assume il minimo dei valori seguenti

L’area dell’acciaio viene “omogeneizzata”, trasformandola in un area equivalente di calcestruzzo, moltiplicandola per il coefficiente

con

La tensione di calcolo a trazione del conglomerato f_ct,eff è il valore medio della resistenza a trazione riferito al tempo in cui si ritiene possano svilupparsi le lesioni: a lungo termine è (resistenza media a trazione).

Il momento di fessurazione M_cr (crack moment) è dato dalla

nella quale il coefficiente k_t di durata di applicazione dei carichi vale  k_t= 0,6 per carico di breve durata, k_t=0,4 per azioni di lunga durata (Circolare NTC08).

 

Nella seconda fase che conduce allo snervamento dell’acciaio (fase fessurata) può tenersi conto del contributo positivo che il calcestruzzo compreso tra una fessura e l’altra esercita nei confronti dell’acciaio limitandone le deformazioni (fenomeno del tension stiffening).

 

La terza ed ultima fase consiste nella plasticizzazione dei due materiali con conseguente aumento delle rotazioni causato dalla formazione di una cerniera plastica nella sezione.

 

Da quanto esposto emerge che questo tipo di analisi è abbastanza complesso dal punto di vista numerico e va quindi affrontato con l’uso dell’elaboratore.

 

I risultati che ne derivano non si discostano sostanzialmente da quelli raggiunti con un’analisi lineare caratterizzata dal massimo della ridistribuzione dei momenti o con l’analisi plastica.