Analisi plastica. Metodo cinematico (upper bound).

Problema. Determinare il carico limite Ql per il profilo in acciaio in figura utilizzando il teorema del limite inferiore (metodo upper bound).

Noti: IPE 180; acciaio S235; l = 3,6 m.

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Secondo il teorema del limite superiore (Koiter) un insieme di carichi al quale corrisponda un meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile è maggiore o al limite uguale all’effettivo carico limite.

Poiché il carico limite determinato con il metodo cinematico è anche maggiore o al limite uguale a quello calcolato con il metodo statico originato dal teorema del limite inferiore (lower bound) ne consegue che se l’insieme dei carichi cinematicamente ammissibile è originato anche da una configurazione staticamente ammissibile esso corrisponde al carico limite.

 

In altri termini l’insieme dei carichi per essere considerato carico limite:

ü  deve essere il minore dei carichi che originano un meccanismo di collasso;

ü  non deve superare le resistenze plastiche della struttura;

ü  essere staticamente determinato (rispettare cioè le equazioni della statica).

 

Nel seguito, a fini didattici, verranno esplorate diverse soluzioni staticamente determinate per verificare praticamente il teorema, arrivando in conclusione alla determinazione del carico limite.

Calcolo del momento plastico Mp sopportabile dalla struttura.

La tensione di calcolo del materiale a flessione vale

Dal sagomario si ricava per il profilo IPE 180

Wpl = 166415 mm3; Classe 1.

Il profilo è in classe 1 ed è pertanto utilizzabile il calcolo plastico secondo le Norme Tecniche.

Il momento plastico sopportabile dalla struttura è dato da:

Nel calcolo precedente il taglio è stato ipotizzato trascurabile; nel caso opposto il momento plastico subisce una riduzione del suo valore.

Individuazione dei meccanismi di collasso.

Sono ipotizzabili tre diversi meccanismi di collasso:

ü  formazione di due cerniere plastiche rispettivamente in A e in C

ü  formazione di due cerniere plastiche rispettivamente in A e in D

ü  formazione di due cerniere plastiche rispettivamente in C e in D

In corrispondenza delle cerniere plastiche il momento non può superare il momento plastico della struttura.

Il metodo cinematico è basato sul teorema dei lavori virtuali secondo il quale, al momento del raggiungimento del meccanismo di collasso, il lavoro prodotto dalle forze reali esterne (i carichi Q) dovrà uguagliare quello delle forze interne (i momenti Mp).

Nell’esempio si seguirà la seconda modalità di applicazione del teorema, assegnando al sistema delle forze equilibrate (Q e i momenti Mp) un sistema di spostamenti arbitrari ma congruente (gli abbassamenti wC e wD e gli angoli a e b).

 

Il teorema dei lavori virtuali può essere applicato con quattro differenti modalità:

  1. Sistema di forze reali (equilibrate) e sistema di spostamenti reali (congruente).
  2. Sistema di forze reali (equilibrate) e sistema di spostamenti fittizi (congruente).
  3. Sistema di forze fittizie (equilibrate) e sistema di spostamenti reali (congruente).
  4. Sistema di forze fittizie (equilibrate) e sistema di spostamenti fittizi (congruente).
    (Difatti si tratta di una metodologia non utilizzabile in quanto non contiene incognite).

Le forze producono spostamenti: il lavoro è dato dal prodotto della loro intensità per lo spostamento.

I momenti producono rotazioni: il lavoro è dato dal prodotto della coppia per la rotazione (espressa in radianti).

Nell’ultimo meccanismo di collasso il momento in A non produce lavoro essendo nulla la rotazione in corrispondenza dell’incastro.

 

Primo meccanismo di collasso.

All’abbassamento del punto D della quantità wD corrispondono le rotazioni congruenti a e b.

Per angoli molto piccoli la tangente può confondersi con il valore dell’angolo espresso in radianti.

Si ha

Il lavoro esterno è dato da

Il lavoro interno è dato da

Nella quale il secondo addendo esprime la somma dei lavori prodotti nel tratto AD (Mpa) e nel tratto DB (Mpb). 

Il carico genera un meccanismo di collasso, non supera la resistenza plastica offerta dalla struttura, è staticamente determinato.

Per essere il carico limite deve risultare il carico minimo nel confronto con gli altri meccanismi di collasso.

 

Secondo meccanismo di collasso.

All’abbassamento del punto C della quantità wC corrispondono le rotazioni congruenti a e b.

Per angoli molto piccoli la tangente può confondersi con il valore dell’angolo espresso in radianti.

Si ha

Il lavoro esterno è dato da

Il lavoro interno è dato da

Nella quale il secondo addendo esprime la somma dei lavori prodotti nel tratto AC (Mpa) e nel tratto CB (Mpb). 

Il carico genera un meccanismo di collasso, non supera la resistenza plastica offerta dalla struttura, è staticamente determinato.

Non può essere considerato quale carico limite perché supera il carico ottenuto con il primo meccanismo di collasso esaminato in precedenza.

 

Terzo meccanismo di collasso.

All’abbassamento del punto D della quantità wD corrispondono le rotazioni congruenti a e b.

Per angoli molto piccoli la tangente può confondersi con il valore dell’angolo espresso in radianti.

Si ha

Il lavoro esterno è dato da

Il lavoro interno è dato da

Nella quale il secondo addendo esprime la somma dei lavori prodotti nel tratto CD (Mpa) e nel tratto DB (Mpb). 

Analizzando l’equilibrio alla rotazione in D del tratto DB si ottiene

Il momento all’incastro vale quindi

Il carico genera un meccanismo di collasso, è staticamente determinato ma supera la resistenza plastica offerta dalla struttura.

Non può essere considerato quale carico limite sia perché supera il carico ottenuto con il primo meccanismo di collasso esaminato in precedenza sia perché supera la resistenza plastica della struttura.

 

Riepilogo.

Riassumendo i risultati finora determinati si ottiene il seguente quadro

Q [kN]

soluzione staticamente determinata

soluzione plasticamente ammissibile

carico minore

41,39

si

si

si

51,74

si

si

no

93,13

si

no

no

 dal quale si desume il carico limite

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