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Teorema di Menelao: Siano L, M e N
rispettivamente su AB, BC e CA. Allora: L, M e N sono allineati
se e solo se Infatti: siano a, l e c i pesi di A, L e C che danno le coordinate baricentriche di M; allora (LAB) = a/(a+l) , (MBC) = – (a+l)/c e infine (NCA) = –c/a ; da qui la tesi. Si può anche scrivere: (LAB)=(NAC)/(MBC) |
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Teorema di Ceva: Siano L, M e N
rispettivamente su AB, BC e CA. Allora AM, BN e CL passano per
uno stesso punto se e solo se Infatti: siano a, b e c i pesi di A, B e C che danno le coordinate baricentriche del punto P=AMÇBNÇCL; allora (LAB) = –a/b , (MBC)=–b/c e infine (NCA)= –c/a da cuila tesi. O anche: Siano L, M e N
rispettivamente su AB, BC e CA. Allora AM, BN e CL passano per
uno stesso punto se e solo se Infatti: siano a, b e c i pesi di A, B e C che danno le
coordinate baricentriche del punto P=AMÇBNÇCL;
allora |
Tra i due precedenti teoremi vi è uno stretto collegamento: qualunque sia il punto P di coordinate baricentriche a, b e c rispetto al triangolo A, B e C allora i punti (aA-bB)/(a-b), (aA-cC)/(a-c) e (bB-cC)/(b-c) sono allineati. Infatti si può calcolare che il loro rapporto semplice è il numero reale (abc).
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Teorema di Desargues: Siano ABC e A'B'C' due triangoli con AA', BB' e
CC' di uno stesso fascio. Allora i punti L=ABÇA'B',
M=ACÇA'C' e N=BCÇB'C'
sono allineati. Infatti, detto O=AA'ÇBB'ÇCC': (LAB) = (A'AO)/(B'BO) , (NBC) = (B'BO)/(C'CO) e infine (MCA) = (C'CO)/(A'AO) da cui (LAB)(NBC)(MCA)=1 e quindi, per il teorema di Menelao,la tesi. |