Due triangoli ABC e A'B'C' sono simili quando (ABC) = (A'B'C') oppure (ABC) = (A'B'C')*.

Il triangolo ABC è equilatero quando (ABC)=(BCA)=(CAB)= (1±iÖ3)/2.

Il triangolo ABC è isoscele con BC congruente a AC quando Re(ABC) = 1/2;
ovvero (ABC) + (ABC)* = 1 ;
ovvero (ABC) = (BAC)*.

Il triangolo ABC è rettangolo in A quando (ABC) è immaginario ovvero (ABC) = - (ABC)*.

L'altezza relativa al lato AB è |Im(ABC)| |B-A|.
Infatti |Im(ABC)| è l'altezza relativa al lato unitario del triangolo di vertici 0, 1 e (ABC), simile al triangolo ABC.

L'area del triangolo orientato ABC è quindi |B-A|²Im(ABC)/2.

Esercizi

Verifica che:

1. I punti A+B–C, A–B+C e –A+B+C sono vertici di un triangolo che ha A, B e C come punti medi. Si ha che:

   (–A+B+C A–B+C A+B–C) = (A B C) 

   cioè i due triangoli sono simili.

2.   A+B B+C A+C  
   ( ——— ——— ——— ) = (A B C).
      2   2   2
   

3. Il triangolo i cui vertici sono simmetrici di quelli di un triangolo dato ABC rispetto ai punti medi dei lati opposti è simile ad ABC
4. sina= Im(ABC)/|(ABC)|
   cosa= Re(ABC)/|(ABC)|.
5. Teorema del coseno: indicati con 0, 1 e A i vertici di un triangolo qualunque,

   	| a – 1 |2 = (a – 1)(a – 1)* =
   	= ... = |a|2 + 1 - 2|a|cos(1ÔA).
   

6. Teorema dei seni: il rapporto tra il seno di un angolo e la lunghezza del lato opposto di un triangolo di vertici 0, 1 e A vale

   	Im(a) 
          ————————
         |a|·|a – 1|
   

7. (ABC)·(BCA)·(CAB) = 1.
8. ( (ABC) (BCA) (CAB) ) = (ABC).
9. Per qualunque punto P, (PAB)·(PBC)·(PCA) = 1 .
10. (ABC)(BCA)= |(ABC)(BCA)|.