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In generale un poligono chiuso di vertici V1,V2, ..., Vn è regolare quando detto C = å (Vk)/n i punti ( C V1 Vi ) sono le radici n-esime dell’unità.

Teorema di Menelao per i poligoni (generalizzazione dovuta a Ceva): Siano A1, A2, A3, ... An i vertici di un poligono e K1, K2, ... Kn punti rispettivamente sui lati A1A2, A2A3, ... AnA1.
Allora: i punti Ki sono allineati Û (K1A1A2)(K2A2A3)(K3A3A4)...(KnAnA1) = 1

La dimostrazione può essere fatta per induzione.
detto K l'intersezione tra A1A2 e AnAn-1, il poligono K A2...An-1 ha n-1 lati, quindi, nell'ipotesi che il teorema valga per n-1 lati:
(K1KA2)(K2A2A3)...(Kn-1An-1K)= 1
D'altra parte per il triangolo A1AnK vale il teorema di Menelao: (K1KA1)(KnA1An)(Kn-1AnK)= 1
Dal rapporto delle due uguaglianze e dal fatto che (Kn-1An-1K)/(Kn-1AnK) = (Kn-1An-1An) discende la tesi.

Teorema di Ceva per poligoni con un numero dispari di lati. Sia in particolare A1 A2 A3 A4 A5 un pentagono e K1 K2 K3 K4 K5 punti rispettivamente sui lati A1A2, A2A3, A3A4 , A4A5 e A5 A1. Allora se le rette K1A4, K2A5, K3A1, K4A2 e K3A2 s'incontrano nello stesso punto si ha (K1A1A2)(K2A2A3)(K3A3A4)(K4A4A5) (K5A5A1) = 1.

Teorema di Pappo Se un esagono ABCDEF ha i lati alternativamente su due rette, allora i punti L=ABÇDE, M=AFÇCD e N=BCÇEF sono allineati
Infatti, posti X=ABÇDC, Y=CDÇEF e Z=ABÇEF, il teorema di Menelao applicato l triangolo XYZ impone che:
(MXY)(FYZ)(AZX)=1
(CXY)(NYZ)(BZX)=1
(DXY)(EYZ)(LZX)=1
da cui (MXY)(FYZ)(AZX)(CXY)(NYZ)(BZX)(DXY)(EYZ)(LZX)=1
Poiché anche
(CXY)(EYZ)(AZX)=1
(DXY)(FYZ)(BZX)=1
ecco che (MXY)(NYZ)(LZX)=1 e perciò, ancora per il teorema di Menelao, la tesi.

Esercizi

    Verifica che:

  1. in un quadrilatero ABCD si ha: (ABD)·(BCA)·(CDB)·(DAC) = 1. Estendi il risultato a poligoni con un numero pari di vertici.
  2. in un poligono A1A2A3 ... An si ha: (A1 A2 An)·(A2 A3 A1)· ... ·(An A1 An-1) = ±1 e inoltre (A1A2A3)·(A2A3A4)·...(AnA1A2)= ±1 a seconda che n ia dispari o pari.
  3. nella figura seguente (PAB) / (PDC) = (PAD) / (PBC) ovvero (PAB)(PBC)(PCD)(PDA) = 1
  4. in qualunque poligono di vertici A1 A2 ... An , qualunque sia P allora (PA1A2)·(PA2A3)·...·(PAnA1)= 1
  5. Detti A, aA, a'A e B, bB, b'B e inoltre: L intersezione della retta per A e bB e della retta per B e aA, M intersezione della retta per A e b'B e della retta per B e a'A, N intersezione della retta per aA e b'B e della retta per bB e a'A, calcolare che L=(a(1-b))A+(1-a)bB)/(a(1-b))+(1-a)), M=(a'(1-b'))A+(1-a')b'B)/(a'(1-b'))+(1-a')) e N=(a'(b-b'))A+(a-a')b'B)/(a'(b-b'))+(a-a')) e inoltre (L-N)/(M-N)=(ab(a'b'-1)/(a'b'(ab-1)) dimostrando così alternativamente il teorema di Pappo.

pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione