Poiché (ABP')=(ABP)* è l'equazione della simmetria di asse AB, allora l'equazione della retta AB è:

Verificare che:

1. la retta per C parallela ad AB ha equazione: Im(ABP)= Im(ABC) .
2. la retta per C perpendicolare ad AB ha equazione: Re(ABP) = Re (ABC) .
3. l'asse di AB ha equazione (ABP) = (BAP)*. Infatti dev'essere Re(ABP)=1/2, ovvero (ABP)+(ABP)* = 1. .
4. la distanza di P dalla retta AB è Im(ABP)·|B–A|. Infatti la distanza di P dall'asse dei reali è Im(ABP).
5. la condizione di parallelismo tra AB e CD è
   (B–A)²/|B–A|² = (D–C)²/|D–C|².
6. la condizione di perpendicolarità tra AB e CD è
   (B–A)²/|B–A|² = (i(D–C)/|D–C|)².
7. la bisettrice di A0B è la retta per 0 e per i punti radici di AB.
8. La bisettrice di ABC ha equazione (ABP)/|(ABP)| = (ACP)*/|(ACP)|.
9. Le staccate della retta AB sugli assi Im e Re sono:

       (B–A)*·A – (B–A)·A* 
   P =  —————————————————
         (B–A)* ± (B–A)
   

   come si può calcolare ponendo   P = ±P*  in  (ABP) = (ABP)*  ;
   Le due espressioni possono scriversi anche rispettivamente Im(AB*)/Re(A–B) e Im(AB*)/Im(A–B).
10. Il punto intersezione tra due rette AB e CD si può ottenere mettendo a sistema le equazioni delle due rette
    (B–A)*(P–A)–(B–A)(P–A)*=0 e
    (D–C)*(P–C)–(D–C)(P–C)*=0 ;
    eliminando P* si ottiene

        (A–C)(B–A)(D–C)* + (A–C)(B–A)*(D–C) + (A–C)*(B–A)(D–C)
    P =  ————————————————————————————————————————————————————
                        (B–A)*(D–C)–(B–A)(D–C)* 
    

11. Il punto intersezione tra due rette AB e CD può anche esser messo sotto forma di media pesata

         Im(CDB)·A + Im(DCA)·B 
    P =  ——————————————————————
           Im(CDB) + Im(DCA)
    

    Infatti dette:
    h_A=Im(DCA)·|D–C| la distanza da A alla retta DC
    h_B=Im(CDB)·|C–D| la distanza da D alla retta DC
    allora P divide il segmento AB nel rapporto h_A/h_B (= area(DCA)/area(CDB) )
12. Le trasformazioni   P' = AP + BP* + C   trasformano rette in rette. Quali altre trasformazioni trasformano rette in rette ?