Il baricentro del triangolo ABC è il punto (A+B+C)/3 .
Infatti posto M = (B+C)/2, dovendo essere (A G M) =3/2 , avremo che G – A = 2 (M-A)/3 da cui il risultato.

Il piede dell'altezza dal vertice C sul lato AB è il punto complesso H = Re(BAC)·A + Re(ABC)·B.
Si osservi che Re(BAC) + Re(ABC) = Re( (BAC) + (ABC) )= 1, quindi l'espressione per il punto H è una media pesata.

In generale, fissati tre punti, ogni altro punto del piano si può sempre vedere come baricentro di tre punti opportunamente pesati, ovvero con media pesata di quei tre punti. La terna formata dai tre pesi, numeri reali a somma non nulla, raccoglie le coordinate baricentriche del punto. Naturalmente la terna (a,b,c) e la terna (ka, kb, kc) rappresentano lo stesso punto per ogni k reale non nullo.

I numeri area(BCP), area(CAP) e area(ABP) sono coordinate baricentriche di P rispetto al triangolo ABC.

     A·area(BCP) + B·area(CAP) + C·area(ABP)
P  = ————————————————————————————————————
                area(ABC)

L'incentro di ABC è media pesata dei vertici del triangolo con pesi le lunghezze dei lati opposti.
Infatti, detto r il raggio della circonferenza inscritta, area(BCP) = BC·r/2, area(CAP)=CA·r/2 e area(ABP) =AB·r/2.

Il circocentro di ABC è centro di massa del triangolo quando i vertici hanno pesi sin2a, , sin2b e sin2g;
infatti, detto r il raggio della circonferenza circoscritta si ha ad esempio area(ABP) = (r²sin 2g)/2.
Tali pesi possono anche esser scritti come: a·cosa , b·cosb e c·cosg dal momento che ad esempio r·sin2a = 2 rsina cosa = a cos a,ovvero anche

 Im(ABC)2 Im(BCA)2 Im(CAB)2
 ——————,  ——————,  ——————.
 |(ABC)2| |(BCA)2| |(CAB)2| 

L'ortocentro di ABC è centro di massa del triangolo quando i vertici hanno pesi tga tgb tgg ;
infatti ad esempio, detto P l'ortocentro e H il piede dell'altezza relativa a BC, allora

area(BPC)   PH     tg(p - g)      1        tga
——————— = ————— = ———————— = ——————— = ——————————   
area(ABC)   AH       tga     tgb·tgg   tga·tgb·tgg

  Im(ABC) Im(BCA) Im(CAB)
  ——————, ——————, ——————  
  Re(ABC) Re(BCA) Re(CAB)

Analoghe alle coordinate baricentriche sono le coordinate trilineari. Nel sito Clark Kimberling's Triangle Centers puoi trovare ulteriori approfondimenti.

Esercizi

Verifica che:

1. Il triangolo che ha per vertici i centri dei triangoli equilateri costruiti esternamente sui lati di un triangolo qualunque è equilatero.
   Infatti posti 0, 1 e A i vertici del triangolo dato,
   A' = (1–iÖ3)/2, B'=1 + (A–1) (1–iÖ3)/2 e C'=A (1+iÖ3)/2
   sono gli altri vertici dei triangoli equilateri quindi
   G_A=( 0+1+1–iÖ3)/2)/3 = ...
   G₀ = (1+1 + (A–1) (1–iÖ3)/2 +A)/3= ...
   G₁=(0+A+ A (1+iÖ3)/2)/3= ..
   (G_A G₀ G₁) = (G₁–G_A)/(G₀–G_A) = ... = (1+iÖ3)/2
2. Sui lati di un triangolo ABC costruire triangoli simili tra loro, qualunque . Allora i baricentri P, Q e R dei triangoli così ottenuti formano un triangolo equilatero
3. Il baricentro G del triangolo ABC forma tre triangoli equivalenti AGB, BGC e CGA.
4. Da P = (BAP)·A + (ABP)·B = (CBP)·B + (BCP)·C = (CAP)·A + (ACP)·C
   ricava che P ha coordinate baricentriche ( (BAP)+(CAP) )/3 ...
5. Im(BCP)/Im(BCA), Im(CAP)/Im(CAB) e Im(ABP)/Im(ABC) sono le coordinate baricentriche di P rispetto ad ABC
6. L'equazione di un'affinità è

         area(BCP)·A' + area(CAP)·B' + area(ABP)·C'
    P' = —————————————————————————————————————————
                        area(ABC) 
   

7. Le affinità, per i punti precedenti, sono le trasformazioni che conservano i centri di massa.
8. Se P è centro di massa di ABC con masse m, n, k, allora, ad esempio l'intersezione di CP con AB è il punto K media pesata di A e B con pesi m e n ; inoltre P divide il segmento CK in parti che stanno come k a (m+n)
9. Se K = ( mA+nB)/(m+n) e N = ( hA+kC)/(h+k) allora l'intersezione P tra CK e BN è la media pesata di A, B e C con pesi mh, nh, mk

Risolvi

10. I punti C', A' e B' dividono i lati AB, BC e CA del triangolo ABC in parti uguali, ad esempio m:n. Determina i vertici del triangolo delimitato dalle rette AA', BB' e CC' ; determinarne anche l'area