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Le origini della geometria risalgono ai tempi preistorici e all'attività pratica dell'uomo che ricavò dalla natura i concetti delle varie figure geometriche. Così si formarono le idee di cerchio e di semicerchio dall'osservazione della luna, l'idea di piano dalla superficie liscia di un lago, l'idea di retta dalla linearità di un raggio di luce, ecc... Ma nella natura stessa raramente si incontrano linee veramente rette, e triangoli e quadrati perfetti; ma l'uomo, per soddisfare le sue necessità pratiche, custruiva oggetti di forma sempre più regolare.Così dall'attività pratica naquero i concetti di lunghezza, volume, area, curvilineo e retto. Tali concetti venivano tramandati a voce dal maestro ai suoi discepoli e non vi era quasi nulla di scritto se non in forma molto frammentaria. La nascita della geometria come parte del pensiero scientifico razionale si può far risalire all'opera di Euclide (III secolo a.C.) che nei suoi Elementi riassume e sintetizza tutto il sapere scientifico dell'epoca, dandogli una struttura logica rigorosa. Gli Elementi si compongono di tredici libri e costituiscono un sistema deduttivo di 465 teoremi riguardanti tutta la geometria elementare. Essi rappresentano il più antico sistema assiomatico fondato su enti primitivi e proprietà fondamentali, detti postulati (vv. I cinque postulati di Euclide), enunciati senza dimostrazione e dettati dall’intuizione e dall’esperienza. Gli Elementi di Euclide, sulle cui basi si fonda anche la geometria moderna, fu considerato il libro sacro della geometria fino a pochi secoli fa; infatti fu solo a partire dal XVI sec. che i matematici, spinti anche dalle nuove scoperte in campo astronomico e fisico, si dedicarono nuovamente e con senso critico allo studio della geometria. In particolare fu il quinto postulato di Euclide a dare le maggiori sofferenze ai matematici delle varie epoche. I matematici si sono accaniti per secoli su questo postulato perchè ritenevano che esso non fosse indipendente da quelli che lo precedevano, gli sforzi per tentare di dimostrare questa affermazione sfociarono nella considerazione che potesse esistere un altro modo di fare geometria. Posidonio di Rodi fu il primo a manifestare dei dubbi a proposito e si propose anche di dimostrarlo. Egli intendeva "migliorare" la geometria euclidea dimostrando che il quinto postulato si sarebbe potuto dedurre logicamente dagli altri assiomi e dando una definizione di rette parallele equivalente a quella euclidea. Molti altri, dal I a.C. fino al secolo scorso, si posero tale problema e per lo più agirono allo stesso modo, cioè sostituendo il quinto postulato con un assioma più soddisfacente, lasciando immutati gli altri e cercando di dimostrarlo, o meglio dedurlo da questi. Karl Friedrich Gauss (1772-1855) prima (il quale però non pubblicò i suoi lavori) e poi Nikolay Ivanovic Lobacewskji (1793-1856), e Giovanni Bolyai (1802-1860) risolsero completamente la questione, nel senso che il quinto postulato è effettivamente indipendente dagli altri. Molti dei risultati ottenuti da Lobacewskji erano stati già osservati dall'italiano Girolamo Saccheri (1667-1733) (vv. L'opera di Saccheri) e dal matematico svizzero Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Allora ammettendo il quinto postulato si otterranno certe conseguenze che costituiscono appunto la cosiddetta geometria euclidea, mentre negandolo si otterrà una geometria non euclidea, ed entrambe queste geometrie costituiranno due sistemi distinti, entrambi egualmente logici e coerenti in sé.
Lobacewskji e Bolyai furono i primi a rendere nota, rispettivamente nel 1829 e nel 1832, quella che Lobacewskji chiamò "geometria immaginaria" e che oggi si chiama "geometria iperbolica". Più tardi il tedesco George F. B. Riemann (1826-1866) pose le basi per un nuovo tipo di geometria non euclidea detta "geometria ellittica". A dire il vero, con l'opera di Lobacewskji-Bolyai e di Riemann non restava ancora dimostrata l'indimostrabilità del quinto postulato a cui giunse Cayley e da F. Klein (1849-1925). Infine nel 1886 E. Beltrami (1835-1900) diede addirittura una interpretazione tangibile delle geometrie non euclidee piane sulle superfici a curvatura costante.
