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Negli Elementi (vv. Premessa storica) sono studiati numerosi problemi matematici: dalla geometria piana all'aritmetica, dalla teoria degli irrazionali alla geometria dello spazio. La geometria piana è fondata sui postulati di Euclide:
per due punti passa una ed una sola retta;
ogni retta può essere prolungata indefinitivamente;
dato il centro e il raggio esiste uno ed un solo cerchio;
tutti gli angoli retti sono uguali;
se una retta forma con altre due da una stessa parte angoli interni con somma minore di due retti allora quelle due rette si incontreranno nello stesso semipiano.
L'ultimo postulato è noto come il postulato delle parallele poiché da esso segue la dimostrazione dell'esistenza di un'unica parallela per un punto ad una retta data. Esso contiene un'affermazione di evidenza meno immediata e completa degli altri postulati, un'affermazione che trascende i dati direttamente forniti dall'esperienza, i quali si riferiscono alla sola regione di spazio a noi praticamente accessibile, vasta ma limitata. Dal II al V postulato segue anche che in un piano esistono rette che non s'incontrano e dovunque equidistanti.
Per molto tempo i matematici furono convinti che il postulato delle parallele, che appariva privo dell'evidenza propria dei primi quattro, non fosse indipendente dagli altri e fosse perciò dimostrabile come teorema, ma in particolare si riusciva a dimostrare l'esistenza di tale retta parallela,ma non la sua unicità. Parecchi pensarono di sostituirlo con un postulato più intuitivo e di facile comprensione, ma tutte le situazioni si rivelarono equivalenti ad esso. Questi tentativi si protrassero per venti secoli e condussero alla conclusione dell'impossibilità di dimostrarlo, anzi si dimostrò la possibilità logica di nuove geometrie, ”diverse” da quella euclidea, in cui esso non vale.
Questa consapevolezza certo non fu una conquista indolore, se si pensa che ammettere una geometria non euclidea significava abbandonare la stessa nozione di spazio tridimensionale che sta alla base del sistema euclideo e per la quale esso è incondizionatamente valido, la nozione euclidea di piano, di retta ecc..., nonché la congettura che lo spazio “reale” fosse quello “euclideo”, e pertanto che quella euclidea fosse l'unica vera geometria.
