L'opera di G. Saccheri

G. Saccheri nella sua opera "Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae Geometriae Principia" (Milano, 1733) prende in considerazione il principale neo di Euclide riguardante la teoria delle parallele.

Egli assume come date le prime 28 proposizioni del libro I di Euclide, le quali sono indipendenti dal V assioma, e assunta come ulteriore ipotesi la falsità di quest'ultimo, cerca qualche proposizione da cui scaturisca la verità di esso. Così facendo prende in considerazione due nuove ipotesi che gli appaiono possibili e dalle quali sviluppa varie conseguenze in modo logicamente perfetto e profondo senso geometrico.

Saccheri parte dalla considerazione di una particolare configurazione ottenuta innalzando negli estremi A, B di una dato segmento le perpendicolari e prendendo su esse due segmenti uguali AD, BC. La figura ABCD che così si ottiene si chiama quadrilatero birettangolo isoscele. Prima di tutto, dimostra (mediante una simmetria attorno alla retta MN, asse della base AB), che i due angoli in C e D risultano uguali.

Successivamente osserva che tali angoli possono essere ottusi, retti, oppure acuti e chiama queste tre possibilità l'ipotesi dell'angolo ottuso, dell'angolo retto e dell'angolo acuto, considerandole tutte egualmente possibili, e stabilisce le seguenti proprietà: se per un solo quadrilatero birettangolo isocele vale una delletre precedenti ipotesi, altrettanto vale per qualsiasi altro quadrilatero birettangolo isocele; corrispondentemente a queste tre ipotesi la somma degli angoli interni di un triangolo risulta maggiore, uguale, minore di due angoli retti; se in un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore, uguale, minore di due angoli retti, altrettanto aviene per qualsiasi altro triangolo. Siccome il verificarsi di una di queste tre ipotesi esclude il verificarsi delle altre due, e una di queste deve sempre verificarsi, se ne deduce che se sarà possibile escludere l'ipotesi dell'angolo ottuso e quella dell'angolo acuto, resteràvalida quella dell'angolo retto e così verrà dimostrato il V assioma. La questione delle rette parallele non poteva, dal punto di vista logico, essere posta in maniera più precisa; però, Saccheri, mentre riesce in maniera rigorosa ad escludere l'ipotesi dell'angolo ottuso, non altrettanto bene riesce ad escludere quella dell'angolo acuto. egli infatti crede di poter affermare l'impossibilità dell'ipotesi dell'angolo acuto, dimostrando che, se fosse valida, verrebbero ad esistere rette complanari che si avvicinano indefinitamente senza incontrarsi. Questo fatto, sebbene appaia in contraddizione con l'intuizione e con l'esperienza tuttavia non rappresenta un'impossibilità logica rispetto alle premesse. Nonostante l'opera di Saccheri presenti un errore logico, essa è di grande importanza perchè viene stabilita per la prima volta una lunga serie di proposizioni, tutte valide se si nega il V assioma di Euclide anticipando gli ulteriori sviluppi delle geomrìetrie non euclidee. Le sue tre ipotesi, infatti, corrispondono ai tre tipi classici di tali geometrie, e precisamente: l'ipotesi dell'angolo ottuso alla "geometria ellittica" (o di Riemann) nella quale da un punto, in un piano, non si può condurre alcuna retta parallela ad una retta data; l'ipotesi dell'angolo retto alla "geometria parabolica" (o di Euclide) nella quale da un punto, in un piano, si può condurre una sola parallela ad una retta data; l'ipotesi dell'angolo acuto alla "geometria iperbolica" (o di Lobacewskji-Bolyai) nella quale da un punto, in un piano, si possono condurre due o più parallele ad una retta data.