Valutazione sull'incertezza di caratterizzazione

Si valuta ora come variano le grandezze di uscita rispetto all'incertezza nella caratterizzazione della singola lamina, dato sistema costituito da sei lamine, in configurazione a tre lamine equivalenti.

Si suppone che le lamine accoppiate a costituire una lamina equivalente siano perfettamente allineate, quindi descritte dalla relazione analitica 4.2.13, mentre l'indeterminazione riguardi lo spessore della lamina birifrangente stessa.

Tabella 4.3: Valori numerici ottenuti dalla valutazione del modulo della derivata del DGD rispetto a $\Delta \tau _{i}$ per la configurazione 222.

	Valore minimo	valore medio	valore massimo
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \Delta \tau_{1}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{\mu m} \right]$	0	0.0017	0.0026
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \Delta \tau_{2}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{\mu m} \right]$	0.0005	6.3958	26.6898
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \Delta \tau_{3}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{\mu m} \right]$	0	0.0018	0.0026

Tabella 4.4: Valori numerici ottenuti dalla valutazione del modulo della derivata del SOPMD rispetto a $\Delta \tau _{i}$ per la configurazione 222.

	Valore minimo	valore medio	valore massimo
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \Delta \tau_{1}}\vert$ $\left[ \frac{ps^{2}}{\mu m} \right]$	0.0001	0.0284	0.0698
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \Delta \tau_{2}}\vert$ $\left[ \frac{ps^{2}}{\mu m} \right]$	0.0011	71.4018	451.8021
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \Delta \tau_{3}}\vert$ $\left[ \frac{ps^{2}}{\mu m} \right]$	0.0006	0.0245	0.0582

Le lamine sono state stimate con la formula di Sellmeier con una precisione spinta fino a $\pm 0.1 \mu m$; si vuole ora verificare come variano le uscite al variare dello spessore delle lamine attorno a quello nominale nell'interavallo $[-2\;\; +3] \mu m$ con step di $\pm 0.05 \mu m$. Nel dominio del tempo l'intervallo di indagine scelto corrisponde a un incertezza per il DGD della singola lamina dell'ordine dei $fs$.

La simulazione $Matlab^\circledR$ valuta l'andamento della derivata del DGD e SOPMD rispetto allo spessore di caratterizzazione della lamina equivalente i-esima, come rapporto dimensionale rispettivamente $\left[ \dfrac{ps}{\mu m} \right]$ e $\left[ \dfrac{ps^{2}}{\mu m} \right]$.

Nelle tabelle 4.3 e 4.4 si riassumono i risultati della simulazione $Matlab^\circledR$ relativamente alle uscite al primo e secondo ordine; si considera l'indeterminazione nella caratterizzazione della lamina equivalente i-esima. ^4.2

É evidente che la lamina centrale del sistema a lamine equivalenti rappresenta il caso critico; la derivata assume infatti valori anche di quattro ordini di grandezza superiori a quelli calcolati per indeterminazione sulle lamine laterali.

Figura 4.5: Evoluzione del DGD e del SOPMD rispetto all'incertezza sulla caratterizzazione di una delle lamine costituenti la lamina equivalente centrale tra $-2$ e $+3$ $\mu m$ per la configurazione a tre lamine equivalenti con $\alpha=30°$ e $\beta=5°$.

Utilizzando i valori medi, nella colonna centrale delle tabelle 4.3 e 4.4, si possono calcolare facilmente gli scostamenti medi dal valore teorico dovuti all'imperfetta caratterizzazione delle lamine. Nel caso di incertezza nella caratterizzazione della lamina all'ingresso dell'emulatore pari a $\pm 1\; \mu m$ si può ritenere che lo scostamento medio in uscita al primo ordine sia di $0.0017 \; ps$, mentre al secondo ordine risulta in media pari a $0.0284 \; ps^{2}$.

Ben diversi sono gli scostamenti se si considera la lamina centrale; infatti si ottengono scostamenti medi al primo ordine di $6.3958 \; ps$ e al secondo ordine di $71,4018 \; ps^{2}$ per indeterminazione di $\pm 1\; \mu m$.

La scelta di un dominio asimmtrico, $[-2\;\; +3] \mu m$, per l'indeterminazione sullo spessore della singola lamina attorno al valore nominale, è stata fatta dopo aver rilevato che esiste uno spessore, corrispondente nel nostro caso allo spessore nominale più circa $0.8\;\; \mu m$, per il quale gli effetti di dell'indeteminazione sono minimi.

Dalle figure 4.6 e 4.7 si vede che per un opportuno spessore della lamina centrale sono minimizzati gli effetti di una eventuale indeterminazione sullo spessore.

Come spiegato in [13] scegliendo opportunamente lo spessore delle lamine si perviene a una sorgente di PMD coerente; tale tipologia di emulatore appare molto più stabile e robusto rispetto a eventuali sorgenti di errore, in quanto il suo comportamento al primo e secondo ordine risulta più regolare rispetto all'emulatore oggetto di questa tesi. Tuttavia si può ritenere che sorgenti di PMD coerenti non possano fornire in uscita un insieme cosí ricco di coppie DGD - SOPMD.

Figura 4.6: Evoluzione del modulo della derivata del DGD rispetto all'incertezza sulla caratterizzazione di una delle lamine costituenti la lamina equivalente centrale tra $-2$ e $+3$ $\mu m$ per la configurazione a tre lamine equivalenti con $\alpha\in [0°\:180°]$ e $\beta=0°$.

Si precisa che il comportamento rilevato, che sta alla base della definizione di sorgenti coerenti di PMD vale solamente per le lamine interne, nel nostro caso infatti tale fenomeno non è stato rilevato per le lamine esterne, per le quali non è definito uno spessore di coerenza. Per le lamine interne invece, nel nostro caso la lamina centrale, si parla di spessore di coerenza indicando tale spessore come quello per cui il ritardo di fase accumulato dall'onda EM, che si propaga nel materiale birifrangente, all'uscita dalla lamina è un multiplo intero si $2\pi$. L'effetto di questa messa in fase delle lamine, come spiegato in [13], e quello di limitare la comparsa di armoniche di ordine superiore nello spettro della funzione DGD e SOPMD.

Figura 4.7: Evoluzione del modulo della derivata del SOPMD rispetto all'incertezza sulla caratterizzazione di una delle lamine costituenti la lamina equivalente centrale tra $-2$ e $+3$ $\mu m$ per la configurazione a tre lamine equivalenti con $\alpha\in [0°\:180°]$ e $\beta=0°$.

Si può stimare che per la gran parte delle configurazioni di angoli possibili, il valore della derivata puntuale sia ben inferiore alla media delle derivate, e solo in un esiguo numero di combinazioni angolari si raggiungano valori vicini al massimo valore calcolato per la derivata al primo e secondo ordine.

Rimane il fatto che tale fenomeno può provocare errori rilevanti nelle misure di interesse, se non viene posta cura sufficiente nella misura dello spessore della singola lamina birifrangente, da cui attraverso le equazioni di Sellmeier (vedi appendice A) si calcola il DGD della stessa.

Ulteriori simulazioni ci hanno permesso di concludere che utilizzando una configurazione a tre lamine equivalenti in configurazione $312$, cioè accorpando le prime tre lamine e le ultime due, e lasciando una singola lamina al centro, il sistema può ritenersi più robusto.

Dal confronto tra le tabelle riassuntive 4.3 e 4.5 relative ai DGD e 4.4 e 4.6 relative al secondo ordine risulta evidente che la configurazione a tre lamine equivalenti $312$ è notevolmente più robusta nei confonti dell'incertezza della caratterizzazione, pur offrendo una quantità confrontabile di coppie DGD - SOPMD in uscita. Il valore di picco della derivata del secondo ordine rispetto a $\Delta \tau_2$ risulta ridotta di cinque volte, mentre il valore medio risulta ben tre volte più piccolo, rispetto al caso precedente in configurazione $222$.

Per quanto riguarda le lamine laterali i valori trovati per la nuova configurazione sono confrontabili con quelli trovati precedentemente, e comunque visto il loro ordine di grandezza, possono ritenersi trascurabili gli effetti a loro dovuti.

Tale configurazione appare quindi come quella che offre le migliori garanzie di stabilità, e pertanto sarà quella utilizzata in seguito.

Tabella 4.5: Valori numerici ottenuti dalla valutazione del modulo della derivata del DGD rispetto a $\Delta \tau _{i}$, per la configurazione $312$.

	Valore minimo	valore medio	valore massimo
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \Delta \tau_{1}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{\mu m} \right]$	0	0.0003	0.0005
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \Delta \tau_{2}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{\mu m} \right]$	0.0004	2.2315	7.0287
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \Delta \tau_{3}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{\mu m} \right]$	0	0.0003	0.0005

In questo caso, per quanto riguarda le imperfezioni di allineamento, le uniche sorgenti sarebbero le lamine laterali che introducono solamente lievi perturbazioni, inoltre l'effetto dell'indeterminazione sullo spessore della lamina centrale è realmente più contenuto.

Tabella 4.6: Valori numerici ottenuti dalla valutazione del modulo della derivata del SOPMD rispetto a $\Delta \tau _{i}$, per la configurazione $312$.

	Valore minimo	valore medio	valore massimo
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \Delta \tau_{1}}\vert$ $\left[ \frac{ps^{2}}{\mu m} \right]$	0.0001	0.0057	0.0140
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \Delta \tau_{2}}\vert$ $\left[ \frac{ps^{2}}{\mu m} \right]$	0.0036	19.6846	82.8102
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \Delta \tau_{3}}\vert$ $\left[ \frac{ps^{2}}{\mu m} \right]$	0.0001	0.0049	0.0116