Valutazione sull'incertezza di allineamento

Tabella 4.1: Valori numerici ottenuti dalla valutazione del modulo della derivata del DGD rispetto al disallineamento $\epsilon _{i}$ nella lamina equivalente.

	Valore minimo	valore medio	valore massimo
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \epsilon_{1}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{°} \right]$	0	14.04	30.68
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \epsilon_{2}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{°} \right]$	0	11.21	31.24
$\vert\frac{\partial DGD}{\partial \epsilon_{3}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{°} \right]$	0	8.14	14.82

Tabella 4.2: Valori numerici ottenuti dalla valutazione del modulo della derivata del SOPMD rispetto al disallineamento $\epsilon _{i}$ nella lamina equivalente .

	Valore minimo	valore medio	valore massimo
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \epsilon_{1}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{°} \right]$	0	258.72	885.23
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \epsilon_{2}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{°} \right]$	0	176.45	867.52
$\vert\frac{\partial SOPMD}{\partial \epsilon_{2}}\vert$ $\left[ \frac{ps}{°} \right]$	0	121.87	445.55

Per valutare la variazione del DGD e SOPMD rispetto ai valori attesi, nell'ipotesi di non corretto allineamento delle lamine in ogni lamina equivalente, cioè nel caso in cui la matrice di birifrangenza della lamina equivalente assuma la forma 4.2.14 , invece che la forma 4.2.13 che descrive il comportamento di una lamina equivalente perfettamente accoppiata nel formalismo di Müller, è stata svolta una simulazione in ambiente $Matlab^\circledR$.

Figura: Evoluzione del DGD e SOPMD per la configurazione a tre lamine equivalenti con $\alpha=30°$ e $\beta=50°$ al variare del disallineamento tra le lamine costituenti la lamina equivalente destra tra $-1°$ e $1°$.

Il sistema in analisi utilizza tutte le sei lamine birifrangenti, in configurazione a quattro lamine equivalenti. Nel caso in cui si voglia simulare un imperfetto allineamento nel blocco centrale, il sistema risulta costituito da due lamine equivalenti a sinistra e a destra, che si ipotizzano perfettamente allineate, cosí da essere descritte dalla relazione 4.2.13, mentre le due lamine centrali sono svincolate. La lamina equivalente a sinistra rimane ferma e posizionata a zero gradi, in modo da costituire da riferimento per i blocchi successivi di lamine.

Pertanto noti i $\Delta \tau _{i}$ con $i=1,2,3,4$ le uniche variabili di sistema sono $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, e $\beta$, rispettivamente angoli di rotazione sulla seconda, terza, e quarta lamina. Il dominio delle variabili risulta pertanto $[0, \pi]$ per $\alpha_{1}$ e $\beta$, mentre si introduce il vincolo $\alpha_{2}= \alpha_{1}+\epsilon$ , con $\epsilon\in\left[ -1\;+1\right]$.

Vengono simulate anche le configurazioni in cui si valutano i parametri di uscita rispetto al disallineamento delle coppie di lamine laterali; per tali configurazioni il formalismo, appena descritto per l'analisi del disallineamento del blocco centrale, può essere facilmente esteso.

Figura: Evoluzione del DGD e SOPMD per la configurazione a tre lamine equivalenti con $\alpha=30°$ e $\beta=5°$ al variare del disallineamento tra le lamine costituenti la lamina equivalente a sinistra tra $-1°$ e $1°$.

Analizzando i risultati delle simulazioni riassunti nelle tabelle 4.1 ^4.1 e 4.2 si può ritenere che il DGD di uscita sia abbastanza robusto in tutti e tre i casi analizzati, infatti presenta massimo modulo della derivata poco superiore a 30, per la lamina centrale e per quella a sinistra, mentre poco superiore a 10 per la lamina a destra.

Tali valori del modulo della derivata del DGD rispetto al disallineamento delle lamine che costituiscono una lamina equivalente, ci permettono di concludere che nel caso peggiore il DGD in uscita si scosterà da quello simulato al più di 0.15 ps per ogni lamina equivalente, per effetto della discretizzazione delle posizioni dei rotatori.

Inoltre l'eventuale effettivo disallineamento delle lamine costituenti una lamina equivalente porta a uno scostamento inferiore a qualche ps nel caso peggiore, vista la piattezza della curva della derivata nell'intorno di $\epsilon=0$ e visto che per lo strumento sono state svolte delle sessioni di taratura delle lamine che limitano il massimo errore in allineamento.

Figura: Evoluzione della derivata del DGD rispetto al disallineamento tra le lamine costituenti la lamina equivalente centrale tra $-1°$ e $1°$ per la configurazione a tre lamine equivalenti con $\alpha =\beta$.

La derivata del SOPMD, rispetto al disallineamento delle lamine, si presenta invece come una fonte critica di indeterminazione. Infatti il massimo modulo della derivata del SOPMD rispetto all'indeterminazione sull'allineamento del blocco a sinistra e del blocco centrale risulta dell'ordine di 800, mentre per il blocco laterale destro risulta dell'ordine di 400. Pertanto nel caso peggiore si può ritenere che l'indeterminazione introdotta dalla discretizzazione delle posizioni dei rotatori sia dell'ordine di 4 $ps^{2}$ per lamina equivalente.

Visto l'andamento della derivata, che anche nell'intorno di $\epsilon=0$ assume valori non trascurabili, si ritiene che possano esistere combinazioni di angoli per le lamine equivalenti per i quali ,seppur si possa considerare limitato l'errore in allineamento, lo scostamento al secondo ordine in uscita possa essere dell'ordine di qualche decina di $ps^{2}$.

Figura: Evoluzione della derivata del SOPMD rispetto al disallineamento tra le lamine costituenti la lamina equivalente centrale tra $-1°$ e $1°$ grado per la configurazione a tre lamine equivalenti con $\alpha =\beta$.