Metodo del valor medio

Consideriamo l'integrale definito:

dove la f(x) è una funzione continua nell'intervallo di integrazione [a,b].

Scelti n punti a caso e uniformemente distribuiti nell'intervallo [a,b], ,

sia X una variabile casuale con densità di probabilità

  

e sia G la variabile casuale ausiliaria definita da:

Poiché, il valore atteso della variabile casuale X è

 

ne consegue che il valore atteso della variabile casuale G è

 ossia il valore dell'integrale da calcolare.

La valutazione di un  integrale diventa, pertanto, un problema risolvibile in chiave statistica, stimandone il

 valore mediante l'esame  di un opportuno campione. Una buona stima del valore di aspettazione della variabile G è fornita dalla media G(x) sugli n valori estratti

 

poiché la media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione, considerato un campione di numeri pseudocasuali uniformemente distribuiti in [a,b], si ha

  e quindi    

Il valore dell'integrale I è ben approssimato dall'area di un rettangolo che

 ha come base l'intervallo d'integrazione e come altezza il valore medio

 empirico di una successione di valori di ordinaria di punti sulla  curva

 g(x), calcolati a partire da una sequenza di numeri pseudocasuali,

 uniformemente distribuiti in [a,b].

Il metodo, in cui un integrale è rappresentato come un valore medio, è detto Montecarlo grezzo.