2.5 Il metodo WKB diretto

L'analisi WKB è un metodo numerico, proposto da Wentzel, Kramers e Brillouin, per la risoluzione dell'equazione di Schrödinger, basato sullo sviluppo in serie della funzione d'onda y. Poiché l'equazione di Helmoltz è isomorfa a quella di Schrödinger, si utilizza il metodo WKB per risalire agli indici efficaci dei modi della guida, una volta noto il profilo dell'indice di rifrazione n(x).

Per un mezzo non assorbente, l'equazione di Helmoltz si presenta nella forma:

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x) + (k_0^2 n^2(x)-\beta^2) \psi(x) = 0,$$ (2.33)

dove y(x) rappresenta una qualunque componente del campo elettromagnetico. L'equazione (2.33) è valida nel caso di mezzi omogenei; per mezzi in cui l'indice di rifrazione non è costante, è una buona approssimazione nell'ipotesi di:

$$\left\vert\frac{\nabla \varepsilon(r)}{\varepsilon(r)}\right\vert \le \frac{1}{\lambda}$$ (2.34)

che è generalmente verificata. Scivendo y(x) nella forma $\psi(x)=\psi_0 exp[i \beta S(x)]$, si sviluppa la funzione S(x) in serie di $\frac{1}{\beta}$:

$$\psi(x)=\psi_0 \exp [i \beta (S_0(x) +\frac{1}{\beta} S_1(x)+ \ldots)]$$ (2.35)

Per variazioni di n(x) piccole rispetto alla lunghezza d'onda considerata (2.34), è possibile trascurare i termini di ordine superiore al primo. Inserendo la (2.35) troncata al primo termine nella (2.33), si ottiene:

$$i \beta \frac{\partial^{2}S_0}{\partial^{2}x}+ i \frac{\partial^{... ...S_0}{\partial x } \frac{\partial S_1}{\partial x } + (k_0^2 n^2(x)-\beta^2) = 0$$ (2.36)

in cui, euguagliando i termini omologhi, si ottengono le seguenti espressioni per S₀ e S₁ :

$$S_0(x) = \pm \frac{1}{\beta} \int^x \sqrt{k_0^2 n^2(\upsilon) - \beta^2} d \upsilon$$

$$S_1(x) = \frac{i}{2} \log \left\vert\frac{\partial S_0}{\partial x}\right\vert$$ (2.37)

con u variabile muta di integrazione dell'indice di rifrazione n(u). A seconda del segno di $k_0^2 n^2(x)-\beta^2$ si hanno le due soluzioni per y(x):

$$\begin{array}{ll} \psi(x) = \frac{\psi_0}{\sqrt[4]{k_0^2 n^2(... ...} d \upsilon \right] & (k_0^2 n^2(x) < \beta^{2}) \end{array}$$ (2.38)

La soluzione esprime chiaramente l'andamento sinusoidale del campo elettromagnetico nella regione guidante, e il decadimento esponenziale all'esterno. Tale soluzione non è valida nei punti x_m, detti turning point, per i quali $k_0 n(x_m)=\beta_m$, ossia alla profondità x_m per la quale l'indice di rifrazione è pari all'indice efficace del modo m-esimo; per tali punti devono perciò essere utilizzate altre approssimazioni [43].

L'analisi WKB fornisce gli autovalori b_m come soluzioni dell'equazione:

$$2 \int_0^{x_m} \sqrt{k_0^2 n^2(\upsilon) - \beta^2} d \upsilon - \varphi_a - \varphi_t= 2 \pi m$$ (2.39)

ossia della generalizzazione dell'equazione (2.15) per una guida graded- index, dove n(u) è il profilo dell'indice di rifrazione, che si suppone funzione monotona decrescente, x_m è l'm-esimo turning point, j_a è lo sfasamento all'interfaccia aria-guida, e j_t è sfasamento al turning point.
Il metodo WKB permette di calcolare numericamente il set di valori b_m che soddisfa l'equazione (2.39) e la $k_0 n(x_m)=\beta_m$, fornendo lo spettro modale di una guida con un errore dell'ordine 10^-4 [16,24]. È possibile perciò determinare gli indici di rifrazione efficaci per ogni modo della guida $n^{eff}_{m}=\frac{\beta_m}{k_{0}}$ (2.32), una volta noto il profilo dell'indice di rifrazione n(x). Generalmente, invece, si vuole determinare il profilo d'indice n(x), una volta misurati gli angoli di accoppiamento dei modi giudati con i metodi m-lines e dark-lines (2.32).

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Barbara Imperio
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