2.6 Metodi di ricostruzione del profilo
d'indice: White-Heidrich e Chiang

Dalla caratterizzazione ottica delle guide di luce, mediante misure di spettroscopia m-lines, si ottengono i valori degli indici di rifrazione efficaci per ciascun modo supportato dalla guida. Il metodo inverso WKB (IWKB), proposto da White e Heidrich, permette di ricostruire l'andamento di n(x), noto il set (n^eff)_m degli indici efficaci.

Dividendo nell'equazione (2.39) l'intervallo di integrazione [0, x_m] negli intervalli [0, x₀], [x₀, x₁], ..., [x_m-1, x_m], con x_jturning point, la (2.39) diventa:

$$2 k_0 \sum_{j=0}^m \int_{x_{j-1}}^{x_j} \sqrt{n^2(\upsilon) - n_m^2} d \upsilon - \varphi_a - \varphi_t = 2 \pi m$$ (2.40)

Si assume di poter approssimare n(x) con la spezzata data dalla somma dei segmenti congiungenti gli indici efficaci misurati [49]:

$$n(x) \approx n_{j-1} + \frac{n_j - n_{j-1}}{x_j - x_{j-1}}(x - x_{j-1}) \; \; \qquad x_{j-1}<x<x_j$$ (2.41)

Se nell'equazione (2.40) si sostituisce a n(x) il valor medio:

$$\frac{n_{j-1}+n_{j}}{2} \qquad \textrm{per} \quad x_{j-1}<x<x_{j}$$ (2.42)

e si assume che f_a =p e f_a =p/2, si ottiene una relazione ricorsiva per i turning point:

$$x_m x_{m-1} + \left[ \frac{3}{2} \sqrt{\frac{2}{n_{m-1}+3n_m}} \sqrt{\frac{1}{n_{m-1}-n_m}} \right] \cdot$$ =

$$\cdot \left\{ \rule[2.5mm]{0mm}{5mm} \frac{4m+3}{8} -\frac{2}{3} ... ...2}+n_m} \ \left(\frac{x_j - x_{j-1}}{n_{j-1}+n_j}\right) \cdot \right. \right.$$

$$\left. \rule[2.5mm]{0mm}{5mm} \left. \cdot \rule[2mm]{0mm}{4mm} \... ... (n_{j-1}+n_m)^{\frac{3}{2}} - (n_j+n_m)^{\frac{3}{2}} \right) \right] \right\}$$ (2.43)

$$x_0 \frac{9}{16} \sqrt{\frac{2}{n_s+3n_0}} \sqrt{\frac{1}{n_s-n_0}}$$ = (2.44)

dove n_m è l'indice efficace per l'm-simo modo e n_s è l'indice di rifrazione del substrato. Grazie a questo algoritmo si calcolano gli x_m a partire da x₀, e il profilo n(x) d'indice è ottenuto dall'equazione (2.41). Il valore dell'indice di rifrazione in superficie n₀ è un parametro libero, che viene ricavato imponendo la minimizzazione della curvatura della funzione n(x).

Poiché il profilo d'indice n(x) è approssimato da una spezzata che congiunge gli indici efficaci, l'accuratezza del metodo White-Heidrich è maggiore quanto più è elevato il numero dei modi di propagazione misurati. Questo metodo è particolarmente adatto nel caso in cui il profilo d'indice presenti cambiamenti di curvatura, mentre tende ad essere poco accurato per profili d'indice a gradino e a sovrastimare il valore d'indice superficiale per profili gaussiani.

Un metodo di ricostruzione d'indice più elaborato è proposto da Chiang [13], il quale parte dalla stessa approssimazione WKB, e dalla medesima ipotesi sull'andamento della funzione n(x), supposta monotona e decrescente. A partire dagli indici efficaci misurati n^eff_m è costruita una funzione continua N(m), con m reale, e N(m) = n^eff_m per m intero. N(m) è ottenuta interpolando gli indici efficaci misurati con una polinomiale di ordine M-1, con M numero totale di modi misurati. Posto b= k₀ N(m), N(m)obbedisce all'equazione (2.33) ed è in corrispondenza biunivoca con il profilo d'indice n(x). A causa della complessità dell'inversione dell'integrale (2.39), e alla dipendenza, in generale, di f_a da N(m), risulta più facile ricostruire n(x) per punti, piuttosto che ricavarne un'espressione analitica. Si campiona N(m) in i punti, ottenendo un set di valori {N_i}, maggiore del numero dei modi misurati (i > M). Si inseriscono i valori {N_i} nell'equazione (2.39), che, invertita, restituisce il set di valori {x(N_i)} per cui:

$$n(\{x(N_j)\})=N_j$$ (2.45)

Da tale relazione si ricostruisce numericamente n(x).

L'accuratezza del metodo Chiang aumenta perciò con il numero i di campioni presi dalla funzione N(m) e non con il numero di modi misurati^2.1. Rispetto al metodo IWKB, il metodo Chiang risulta preferibile per profili d'indice gaussiani o parabolici, in cui $\frac{dn}{dx}$ è nulla all'interfaccia aria-guida [18].

Guide di luce in niobato di litio drogato con ferro per applicazioni olografiche
Barbara Imperio
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